Newton såväl med vanlig klarhet framställt sin fluxionsteori som ock tillämpat densamma på lösningen av svåra uppgifter. Allmänna meningen var, att den borde föredragas framför Leibniz’ metod, ja det sades t. o. m., speciellt i England, att denne ej ens förstått, vilken stor upptäckt han gjort. Det var Johan Bernoulli, som först klart insåg differentialkalkylens stora företräden och till stor del bringade den till seger. Han satte i övrigt Newton ganska högt, men dennes största upptäckt, den allmänna gravitationslagen, ville han ej antaga, utan höll sig fortfarande till Cartesii virvlar.
Vid dryftandet av svårare frågor brukade Johan för sina söner och Klingenstierna framlägga problem att lösa, vilka voro för frågan belysande, men snart började Klingenstierna att å sin sida framställa sådana för herrarna Bernoulli. En gång t. ex., då man avhandlade Leibniz’ indelning av krafterna i »döda» och »levande», vilken mycket tilltalade Johan B., varemot K. vidhöll, att Leibniz’ framställning vore oklar och att det egentligen berodde på olika definition av kraft, så framställde B. ett problem, som ledigt upplösts under antagande av L:z’ princip, men som han menade omöjligt kunde lösas på gamla sättet. Klingenstierna gjorde dock detta och fann således sin åsikt i frågan bekräftad.
En av de vackraste problemlösningar, som av J. Bernoulli utförts, var bestämmandet av brachystochronen eller den kroklinje, längs vilken en kropp måste röra sig för att på kortaste tid falla från en punkt till en annan i ett lägre plan. (Galilæi har framställt problemet, men lyckades ej lösa detsamma.) Nu löste Klingenstierna detsamma på annat sätt och under det vida svårare antagandet, att kroppen rör sig, ej i tomrummet, utan i ett resisterande medium.
Från Basel begav sig Klingenstierna till Paris, då liksom ofta sedermera centret för den matematiska forskningen. Han sammanträffade där och kom mest i intim beröring med Franska institutets dåvarande främste vetenskapsmän,
