Vetenskapen och hypoteserna. Andra kapitlet

←  Om det matematiska resonemangets natur

Vetenskapen och hypoteserna av Henri Poincaré

Den icke-euklidiska geometrien  →

Den matematiska storheten och erfarenheten.

Om man vill veta, vad matematikerna mena med ett kontinuum, så är det icke till geometrien man bör rikta sin fråga. Geometern försöker alltid i mer eller mindre grad att föreställa sig de figurer han studerar, men hans föreställningar tjäna honom blott såsom hjälpmedel. Han gör geometri i rymden likaväl som med krita på svarta tavlan. Må man därför akta sig för att fästa alltför stor vikt vid sådana tillfälligheter, som ofta icka hafva något annat gemensamt med geometrien än kritan.

Den rena analytikern behöver icke frukta sådana stötestenar. Han har frigjort den matematiska vetenskapen från alla främmande elementer, och han kan svara på vår fråga: Hvad är egentligen detta kontinuum, som utgör föremålet för matematikernas arbete? Många av dem, som äro i stånd att djupare begrunda sin konst, hava redan svarat, så t. ex. Tannery i sitt verk Introduction à la théorie des fonctions d'une variable.

Låtom oss utgå från den av de hela talen bildade stegen. Mellan två på varandra följande pinnar inskjuta vi sedan en eller flere mellansteg och mellan dessa ännu andra, och så vidare i oändlighet. På så sätt få vi ett obegränsat antal leder, och dessa utgöras av de tal man benämner bråktal, rationella eller kommensurabla tal. Men icke nog härmed, emellan dessa leder, som likväl förekomma i oändligt antal, måste vi ytterligare inskjuta andra, som man benämner irrationella eller inkommensurabla tal.

Innan vi gå vidare, skall jag göra en första anmärkning. Vårt sålunda uppfattade kontinuum är blott en samling individer, uppställda i en viss ordning, visserligen till oändligt antal, men avskilda från varandra. Detta är icke den gängse uppfattningen, ty enligt denna antager man mellan vårt kontinuums elementer en sorts inre band, som till ett förenar alltsammans, där punkten ej är till före linjen, men väl linjen före punkten. Av den berömda formeln: "Sammanhanget är enheten i mångfalden" kvarstår mångfalden ensam, enheten är försvunnen. Analytikerna hava därför icke mindre rätt att definiera sitt kontinuum såsom de göra det, eftersom det alltid är över detta de resonera, när de vilja briljera med sin skärpa. Men det är nog för att göra oss uppmärksamma på, att det verkliga matematiska sammanhanget är en helt annan sak än fysikernas och metafysikernas.

Man skall kanske även invända, att de matematiker, som åtnöja sig med denna definition, låta bedraga sig av orden, att man på ett bestämt sätt borde angiva, vilka var och en av dessa mellanliggande steg äro, förklara huru man bör inskjuta dem och bevisa, att det är möjligt att göra det. Men detta vore en orättvis fordran. Den enda av dessa stegpinnars egenskaper, som ingriper i deras resonemanger^[1], är pinnarnas befintlighet före eller efter vissa andra, och denna bör således ensamt ingripa i definitionen.

Vi böra således icke oroa oss över det sätt, varpå dessa mellantermer böra inskjutas. Å andra sidan tvivlar ingen människa på, att denna operation är möjlig, så framt de icke glömma, att detta sista ord på geometrernas språk helt enkelt innebär "fritagen från motsägelse".

Vår definition är emellertid ännu icke fullständig, och jag återkommer nu till den efter denna långa avvikelse.

De inkommensurabla talens definition. Berlinerskolans matematici och Kronecker i all synnerhet hava sysselsatt sig med att konstruera en sammanhängande stege av bråk och irrationella tal, utan att betjäna sig av andra materialier än hela tal. Enligt detta betraktelsesätt skulle vårt matematiska kontinuum vara en ren skapelse av anden, vari erfarenheten ej hade någon del.

Då det rationella talets begrepp ej synes erbjuda dem några svårigheter, hava de framför allt riktat sina ansträngningar på att definiera det inkommensurabla talet. Men innan jag återgiver deras definition, vill jag förutskicka en anmärkning för att förekomma den förvåning, den ofelbart skulle framkalla hos de med geometrernas vanor icke förtrogna läsarna.

Matematikerna studera ej föremålen, utan förhållandena mellan dessa. Det är dem sålunda likgiltigt, om dessa föremål utbytas emot andra, förutsatt att förhållandena härigenom icke förändras. Materian har ingen betydelse för dem, formen endast intresserar dem.

Om man ej behåller detta i minnet, skall man aldrig kunna förstå, att Dedekind med benämningen inkommensurabelt tal avser en enkel symbol, det vill säga något helt och hållet avvikande från den idé man tror sig böra förbinda med en kvantitet, vilken bör vara mätbar och nära på kunna vidröras.

Så här lyder emellertid Dedekinds definition:

Man kan på oändligt många sätt fördela de kommensurabla talen i tvenne klasser, på så sätt att ett tal vilket som helst av första klassen är större än ett tal vilket som helst av andra klassen.

Det kan hända, att det bland talen inom första klassen förekommer ett, som är mindre än alla de andra. Om man t. ex. inom första klassen inordnar alla tal, som äro större än 2 och medtager 2 själv och i den andra klassen alla tal, som äro mindre än 2, så är det ju klart, att 2 måste bliva det minsta av alla talen i första klassen. Talet 2 kan väljas såsom symbol för denna uppdelning.

Det kan också tvärtom hända, att det bland talen i andra klassen förekommer ett, som är större än alla de andra. Detta inträffar, om första klassen t. ex. omfattar alla tal, som äro större än 2 och andra klassen alla tal, som äro mindre än 2 jämte 2 själv. Även här kan talet 2 väljas såsom symbol för uppdelningen.

Men det kan likaledes inträffa, att man varken i första klassen kan finna ett tal, som är mindre än alla de andra, eller i andra klassen ett, som är större än alla de andra. Låtom oss till exempel antaga, att man i första klassen sätter alla de kommensurabla tal, vars kvadrat är större än 2 och i den andra alla dem, vars kvadrat är mindre än 2. Man vet, att det icke finnes något tal, vars kvadrat är precis lika med 2. I första klassen finnes uppenbarligen icke något tal mindre än alla de övriga, ty huru nära kvadraten på ett tal än må vara 2, så kan man alltid finna ett kommensurabelt tal, vars kvadrat kommer ännu närmare 2.

Enligt Dedekinds sätt att se, är det inkommensurabla talet

${\sqrt {2}}$

ingenting annat än symbolen för detta särskilda sätt att fördela de kommensurabla talen och emot varje fördelningssätt svarar sålunda ett kommensurabelt tal, som tjänar det såsom symbol, eller det motsvaras ej av något sådant tal.

Men att nöja sig med detta, vore att alltför mycket glömma dessa symbolers ursprung. Det återstår att förklara, huru man föranletts att tillerkänna dem en sorts konkret existens. Och börjar icke å andra sidan svårigheten just vid själva bråktalen? Skulle vi äga något begrepp om dessa tal, om vi ej på förhand kände ett föremål, som vi uppfattade såsom delbart i oändlighet, d. v. s. såsom ett kontinuum?

Vårt fysikaliska kontinuum. Man slutar alltså med att fråga sig själv, om ej begreppet om vårt matematiska kontinuum helt enkelt dragits ur erfarenheten. Om så vore, skulle erfarenhetens råa uppgifter, eller våra förnimmelser, kunna mätas. Man skulle frestas tro, att det verkligen förhölle sig så, eftersom man på sista tiden ansträngt sig med att mäta dem och man har formulerat en lag, känd under namn av Fechners lag, enligt vilken förnimmelsen skulle vara proportionell emot logaritmen på retningen.

Men om man närmare undersöker de experimenter, genom vilka man försökt fastställa denna lag, så föranledes man till en helt motsatt slutledning. Man har t. ex. märkt, att en tyngd $A$ på 10 gram och en tyngd $B$ på 11 gram frambringa överensstämmande förnimmelser samt att tyngden $B$ ej heller kan skiljas från en tyngd $C$ på 12 gram, men att man lätt skiljer tyngden $A$ från tyngden $C$. Erfarenhetens grova resultater låta sig sålunda uttryckas genom följande förhållande

$A=B$, $B=C$, $A<C$,

vilka kunna betraktas såsom vårt fysikaliska kontinuums formel.

Här föreligger en med kontradiktionsprincipen olidlig disharmoni, och det är nödvändigheten att upphäva denna, som tvingat oss att uppfinna vårt matematiska kontinuum.

Man blir således tvungen att draga den slutsatsen, att detta begrepp till alla delar skapats av anden, men att det är erfarenheten, som givit den anledning därtill.

Vi kunna ej tro, att tvenne med en tredje lika kvantiteter icke äro lika sinsemellan och det är på så sätt vi kommit att förutsätta, att $A$ är olika $B$ och $B$ olika $C$, men att ofullkomligheten hos våra sinnen ej tillåter oss skilja dem åt.

Skapandet av vårt matematiska kontinuum. Första stadiet. För att klarlägga fakta har det hittills varit tillräckligt att mellan $A$ och $B$ inskjuta ett litet antal leder, som förblefvo avskilda var och en för sig. Vad inträffar nu, om vi hade tillgång till ett instrument för att avhjälpa våra sinnens ofullkomlighet, om vi t. ex. begagnade oss av ett mikroskop? Leder, dem vi icke kunde skilja åt, såsom nyss $A$ och $B$, skulle nu förefalla oss såsom stående på avstånd från varandra. Men mellan de nu från varandra åtskilda $A$ och $B$, inskjutes en ny led $D$, som vi varken kunna skilja från $A$ eller från $B$. Trots användandet av de mest fullkomnade metoder skola vår erfarenhets direkta resultater alltid uppvisa vårt fysikaliska kontinuums karaktär med den därmed oskiljaktigt förenade motsägelsen.

Vi undgå den icke på annat sätt, än att oupphörligt inskjuta nya leder mellan de redan åtskilda och med denna operation måste vi fortsätta i oändlighet. Vi kunna blott tänka oss få stanna i det fall, att vi lyckades uttänka ett instrument nog starkt för att sönderlägga det fysiska sammanhanget i avsöndrade elementer, liksom teleskopet uppdelar vintergatan i stjärnor. Men något sådant kunna vi ej föreställa oss. Faktiskt är det alltid med våra sinnens förmedling vi betjäna oss av instrumenterna. Det är med ögat vi observera den genom mikroskopet förstorade bilden, och denna bild bör således alltid bibehålla synförnimmelsernas kännetecken samt följaktligen det rent fysiska sammanhangets.

Intet skiljer en längd som direkt observerats, från hälften av denna längd, om densamma genom mikroskopet fördubblas. Det hela är homogent med delen, och här hava vi en ny motsägelse eller snarare, det skulle hava varit en sådan, om antalet leder antagits avslutat. För övrigt är det ju klart, att delen, som innehåller mindre leder än det hela, ej kan vara lika med det hela.

Motsägelsen upphör, så snart ledernas antal betraktas såsom oändligt. Ingenting hindrar oss ifrån att t. ex. uppfatta sammanfattningen av de hela talen såsom lika med sammanfattningen av de jämna talen, som likväl endast är en del av dem. Och faktiskt motsvaras varje helt tal av ett jämnt, vilket är detta tal taget två gånger.

Men det är icke endast för att undgå denna i de empiriska resultaten förekommande motsägelse, som anden föranletts att skapa föreställningen om ett kontinuum, bestående av ett oändligt antal leder.

Allt avlöper såsom vid räckan av hela tal. Vi hava förmåga att uppfatta, att en enhet kan läggas till en samling enheter, och det är tack vare erfarenheten, som vi få tillfälle att öva denna förmåga och erhålla medvetande om den. Men från och med detta ögonblick känna vi, att vår makt icke har några gränser och att vi skulle kunna räkna i oändlighet, ehuru vi aldrig haft tillfälle att räkna annat än ett avslutat antal föremål.

Sedan vi föranleddes att inskjuta mellantermer mellan tvenne på varandra följande termer i en serie, känna vi sammaledes, att denna operation kan fortsättas utöver varje gräns och att det så att säga ej finnes något inre, tvingande skäl för att stanna.

Må det tillåtas mig att för korthetens skull benämna hela sammanfattningen av de termer, som bildats enligt samma lag som stegen av de kommensurabla talen, för ett matematiskt kontinuum av första ordningen. Om vi vidare inskjuta nya pinnar enligt lagen för bildandet av de inkommensurabla talen, så erhålla vi vad vi skola kalla ett kontinuum av andra ordningen.

Andra stadiet. Ännu hava vi ej tagit mera än det första steget. Vi hava förklarat ursprunget till våra kontinuum av första ordningen. Men nu måste vi undersöka, varför dessa icke äro tillräckliga och varför det blivit nödvändigt att uppfinna de inkommensurabla talen.

Om man vill föreställa sig en linje, så går detta endast för sig med vårt fysikaliska kontinuums kännetecken, d. v. s. att man kan blott föreställa sig den med en viss bredd. Två linjer synas oss därför under form av tvenne smala band och om man nöjer sig med denna grova bild, så är det klart, att om de två linjerna skära varandra, de få en gemensam del.

Men den rene geometern gör en ytterligare ansträngning. Utan att helt och hållet avstå från sina sinnens hjälp, vill han nå fram till uppfattandet av en linje utan bredd och en punkt utan utsträckning. Han kan blott lyckas härutinnan, genom att betrakta linjen såsom den gräns, mot vilket ett allt mer och mer avsmalnande band syftar och punkten såsom den gräns, mot vilken ett allt mindre och mindre område syftar. Och likväl skola våra tvenne band, huru smala de än må vara, alltid hava en allt efter som banden bliva smalare gemensam proportionellt mindre yta och vars gräns blir, vad den rena geometern benämner en punkt.

Det är därför man säger, att tvenne linjer, som skära varandra, hava en gemensam punkt och denna sanning förefaller intuitiv.

Men den skulle innebära motsägelse, om man uppfattade linjerna såsom var och en ett kontinuum av första ordningen, d. v. s. om på de av geometern dragna linjerna icke funnes något annat än punkter, vilka såsom koordinater hade rationella tal. Motsägelsen skulle komma i öppen dag, så snart man medgåve t. ex. förekomsten av räta linjer och cirklar.

Det är tydligt, att om de punkter, vars koordinater äro kommensurabla tal, ensamma betraktades såsom verkliga, så skulle den i en kvadrat inskrifna cirkeln och denna kvadrats diagonal ej skära varandra, eftersom skärningspunktens koordinater betraktas såsom inkommensurabla tal.

Detta är emellertid icke nog, ty man finge på så sätt endast vissa inkommensurabla tal och ej alla.

Men vi vilja föreställa oss en rät linje delad i tvenne halva räta linjer. Var och en av dessa halva linjer framträder för vår inbillning såsom ett band av en viss bredd. Dessa band ingripa dessutom i varandra, emedan det mellan dem icke får finnas något mellanrum. Den gemensamma delen ser ut som en punkt, vilken alltid finnes kvar, under det vi föreställa oss våra band allt smalare och smalare, och på så sätt komma vi att såsom en intuitiv sanning antaga, att om en rät linje delas i tvenne halva räta linjer, dessa tvenne linjers gemensamma gräns är en punkt. Vi igenkänna här Kroneckers uppfattning, där ett inkommensurabelt tal betraktades såsom den gemensamma gränsen för de två klasserna rationella tal.

Sådant är ursprunget för vårt kontinuum av andra ordningen, vilket är det matematiska sammanhanget, eller kontinuum, i egentlig mening.

Sammanfattning. — Såsom sammanfattning kunna vi säga, att anden har förmåga att skapa symboler och det är sålunda den har uppbyggt vårt matematiska kontinuum, som icke är något annat än ett särskilt system av symboler. Dess makt är endast begränsad av nödvändigheten att undvika motsägelser, men anden använder sig av denna förmåga endast i det fall, att erfarenheten giver den anledning därtill.

I det fall, varmed vi sysselsätta oss, var denna anledning begreppet om det fysiska sammanhanget, som dragits ur sinnenas obearbetade uppgifter. Men detta begrepp för till en serie motsägelser, vilka vi så småningom måste befria oss ifrån. Det är på så sätt vi blivit nödsakade att föreställa oss ett allt mer och mer sammansatt system symboler. Det system vi åtnöja oss med, är icke endast fritaget från inre motsägelser, det var det redan vid varje avdelning vi befriat oss ifrån, men det står icke heller i strid med olika propositioner, vilka vi benämna intuitiva och som dragits ur mer eller mindre bearbetade empiriska begrepp.

Den mätbara storheten. — De storheter, vi hittills studerat, hava icke varit mätbara. Väl hava vi kunnat säga, om den ena eller andra av dessa storheter varit större än någon annan, men icke om den varit två eller tre gånger så stor.

Hittills har jag egentligen icke sysselsatt mig med något annat än den ordning, i vilken våra leder varit ställda intill varandra. Men detta är icke tillräckligt för de flesta tillämpningarna. Vi måste lära oss jämföra de mellanrum, som skilja tvenne godtyckliga leder. Det är endast på det villkoret vårt kontinuum blir en mätbar storhet och man på det kan tillämpa aritmetikens operationer.

Detta låter sig endast göra med tillhjälp av en ny och särskild överenskommelse. Man kommer överens om att i det och det fallet det förutsatta mellanrummet, som skiljer lederna $A$ och $B$, är lika med det mellanrum, som skiljer $C$ och $D$. Vid början av vårt arbete t. ex. utgingo vi ifrån den av hela tal bildade stegen och vi förutsatte, att man mellan tvenne på varandra följande pinnar insköt $n$ förmedlande pinnar. Nå väl! Dessa nya pinnar betraktas genom överenskommelse såsom befinnande sig på lika avstånd sinsemellan och i förhållande till de andra.

Detta är ett sätt att definiera additionen av två storheter, ty om mellanrummet $AB$ enligt definitionen är lika med mellanrummet $CD$, så skall mellanrummet $AD$ enligt definitionen vara summan av mellanrummet $AB$ och $AC$.

Denna definition är godtycklig i mycket hög grad. Likväl är den det icke helt och hållet, ty den är bunden vid vissa villkor, som t. ex. reglerna för additionens kommutativitet och associativitet. Men förutsatt, att den valda definitionen satisfierar dessa regler, är valet likgiltigt och det är onödigt att närmare precisera det.

Några anmärkningar. Vi kunna uppställa många viktiga frågor, bland andra:

1:o. Är andens skapande förmåga uttömd genom skapandet av vårt matematiska kontinuum?

Nej! Detta bevisa Du Bois-Raymonds arbeten på ett slående sätt.

Som bekant uppdela matematikerna infinitesimalerna^[2] i olika ordningar och så, att de av andra ordningen äro infinitesimaler icke endast på ett absolut sätt, utan även i förhållande till dem av första ordningen. Det möter ingen svårighet att föreställa sig infinitesimaler av bråkens eller till och med av de irrationella talens ordning och vi återfinna sålunda denna vårt matematiska kontinuums stege, som utgjort ämnet för föregående sidor.

Men icke nog härmed. Det finnes infinitesimaler, som äro oändligt små i förhållande till dem av första ordningen och däremot oändligt stora i förhållande till dem av ordning $1+\epsilon$, och detta huru litet $\epsilon$ än är. Här hava vi sålunda nya leder inskjutna i vår serie, och med läsarens tillåtelse återvänder jag till det språk jag nyss använde och som är mycket bekvämt, ehuru det ej vunnit allmänt burskap samt säger, att man således skapat ett slags kontinuum av tredje ordningen.

Det skulle vara lätt att gå ännu längre, men detta bleve endast en fåfäng andens lek. Man skulle endast föreställa sig symboler utan någon möjlig tillämpning och ingen skulle taga notis om dem. Vårt kontinuum av tredje ordningen, vartill betraktandet av olika ordningar av infinitesimalerna förer, är självt alltför föga använt för att hava förvärvat sig medborgarrätt, och geometrerna betrakta det blott och bart som en kuriositet. Anden begagnar sig ej av sin skapande förmåga, annat än när erfarenheten nödvändigtvis tvingar den därtill.

2:o. När man en gång är i besittning av begreppet om ett matematiskt kontinuum, befinner man sig då i säkerhet för motsägelser, i likhet med dem som kommit det att uppstå?

Nej, och detta skall jag belysa med ett exempel.

Man måste hava studerat ganska mycket matematik för att ej betrakta det som en självklar sak, att varje kurva har en tangent. Och faktiskt, om man föreställer sig denna kurva jämte en rät linje såsom tvenne raka band, kan man alltid anbringa dem på så sätt, att de få en liten del gemensam, utan att skära varandra. Föreställer man sig vidare dessa båda band obegränsat avtagande i bredd, så kvarstår i alla händelser alltid detta gemensamma parti, och vid gränsen så att säga, få de två linjerna en gemensam punkt, utan att de skära varandra, det vill säga att de beröra varandra.

Den geometer som, medvetet eller ej, resonerar på detta sätt, gör ingenting annat än just vad vi tidigare gjorde, när vi ville bevisa, att två linjer som skära varandra hava en gemensam punkt och hans intuition kan förefalla fullt ut lika berättigad.

Emellertid bedrager den honom. Man kan bevisa, att det finnes kurvor, vilka icke hava någon tangent, om en sådan kurva definieras såsom ett analytiskt kontinuum av andra ordningen.

Utan tvivel skulle något konstgrepp i enlighet med dem vi tidigare undersökt tillåta motsägelsens upphävande, men eftersom sådana blott påträffas i mycket sällsynta fall, så har man ej sysselsatt sig med dem. I stället för att försöka sammanjämka intuitionen med analysen, har man nöjt sig med att uppoffra en utav dem och eftersom analysen måste förbliva ofelbar, är det intuitionen som fått stryka på foten.

Vårt fysikaliska kontinuum i flere dimensioner: Tidigare har jag undersökt det fysiska sammanhanget, sådant det utgår ur våra sinnens omedelbara uppgifter, eller om man så vill, ur de oarbetade resultaten av Fechners experimenter. Jag har visat, att dessa resultat sammanfattas i de motsägande formlerna.

$A=B$, $B=C$, $A<C$.

Nu skola vi se, huru detta begrepp har förallmänligats och huru ur detsamma föreställningen om kontinuer i flera dimensioner har kunnat utgå.

Låtom oss betrakta tvenne godtyckliga grupper av sensationer. Antingen kunna vi skilja dem från varandra, eller vi kunna det ej, alldeles som i Fechners experimenter en tyngd på 10 gram kan skiljas från en tyngd på 12, men ej från en tyngd på 11 gram. Jag behöver ingenting annat för att konstruera upp ett kontinuum i flera dimensioner.

Vi kalla en av dessa grupper för ett element, och detta skulle vara någonting analogt med matematikernas punkt, ehuru det ej är alldeles precis samma sak. Vi kunna icke säga, att vårt element är utan utsträckning, eftersom vi ej kunna skilja det från de närliggande elementen och det äfven är omgivet av en sorts dimma. Om man vill tillåta mig en astronomisk jämförelse, så äro "elementerna" såsom nebulosor, under det att de matematiska punkterna äro såsom stjärnor.

Detta förutsatt, skulle ett system elementer bilda ett kontinuum, om man kunde gå över från något element till ett annat, likgiltigt vilket, genom en serie elementer i rad efter varandra, så att vart och ett av dem ej kan skiljas från det näst föregående. Denna lineära serie förhåller sig till matematikernas linje liksom ett fristående element till punkten.

Innan vi gå vidare, måste jag förklara, vad ett avsnitt är. Låtom oss betrakta ett kontinuum $C$, vilket vi beröva vissa dess elementer och för ett ögonblick anse dessa såsom icke längre hörande till detta kontinuum. De sålunda avlägsnade elementerna tillsammantagna kallas ett avsnitt. Det skulle kunna hända, att tack vare detta avsnitt, $C$ blir uppdelat i flera från varandra avskilda kontinuer och de kvarstående elementen upphöra att bilda ett enda kontinuum.

På $C$ finnas då två elementer, $A$ och $B$, vilka böra betraktas såsom hörande till tvenne sinsemellan skilda kontinuer, och detta förhållande igenkännes därpå, att det är omöjligt finna en kedja av efter varandra följande elementer av $C$, med början från $A$ och gående till $B$ samt så beskaffad, att varje element ej kan skiljas från det näst föregående, utan att ett av elementerna i denna kedja är oskiljbart från ett av elementerna i avsnittet och följaktligen ej kan uteslutas.

Det kunde tvärtom låta tänka sig, att det företagna avsnittet vore otillräcklig för att ytterligare uppdela vårt kontinuum $C$. För att klassificera de fysiska sammanhangen, hava vi att noga undersöka de avsnitt, som oundgängligen måste göras för att sönderdela dem.

Om man kan sönderdela ett fysiskt kontinuum $C$ medels ett avsnitt, som inskränker sig till ett avslutat antal helt och hållet från varandra skiljbara elementer (och följaktligen icke bildande varken ett eller flera kontinuer), säga vi att $C$ är ett kontinuum i en dimension.

Om $C$ däremot blott kan sönderdelas genom avsnitt, som själva vart och ett är ett kontinuum, så säga vi, att $C$ har flera dimensioner. Om det är tillräckligt med avsnitt som äro kontinuer i en dimension, säga vi att $C$ har två dimensioner, om det är nog med avsnitt i två dimensioner, säga vi att $C$ har tre dimensioner, och så vidare.

Sålunda föreligger begreppet om det fysiska sammanhanget i flere dimensioner definierat, tack vare det mycket enkla faktum, att tvenne sammanfattningar av förnimmelser kunna vara skiljbara eller oskiljbara från varandra.

Vårt matematiska kontinuum i flera dimensioner. — Begreppet om det matematiska kontinuet i $n$ dimensioner har helt naturligt utgått härur genom en process, fullständigt överensstämmande med den vi skärskådade i början av detta kapitel. En punkt av ett dylikt kontinuum synes oss, som bekant, definierad genom ett system av $n$ fristående storheter, vilka benämnas dess koordinater.

Det är icke alltid nödvändigt, att dessa storheter äro mätbara och det finnes exempelvis en gren av geometrin, där man avstått från mätandet av dem, där man sysselsätter sig enbart med att undersöka, t. ex. om på en kurva $ABC$ punkten $B$ befinner sig mellan $A$ och $C$ och ej frågar efter, om bågen $AB$ är lika stor som bågen $BC$, eller om den är två gånger så stor. Denna gren kallas Analysis situs.

Denna utgör ett helt lärosystem samt har tilldragit sig de största geometrers uppmärksamhet, och man ser det ena efter det andra uppseendeväckande teoremet utgå härur. Vad som skiljer dessa teoremer från den vanliga geometriens, är att de äro rent kvalitativa och att de förbliva riktiga, även om figurerna uppritats av en oskicklig tecknare, som klumpigt förvränger proportionerna och ersätter de räta linjerna med mer eller mindre krokiga.

Det är först, när man velat införa måttet i det kontinuum vi nyss definierat, som detta kontinuum har blivit till rymd och geometrien fötts. Men denna undersökning skall jag spara till andra delen av vår bok.

---

Fotnoter:

1. Tillsammans med dem, som innehållas i de särskilda överenskommelser, som tjäna till att definiera additionen och om vilka vi skola tala längre fram.
2. Med infinitesimal menas en oändligt liten storhet.