Vetenskapen och hypoteserna. Sjunde kapitlet

Relativ och absolut rörelse.

Principen om den relativa rörelsen. Många försök hava gjorts att bringa accelerationslagen i förbindelse med en mera allmän princip. Rörelsen hos ett system vilket som helst bör lyda samma lagar, antingen man hänför denna rörelse till fasta axlar eller till rörliga sådana, vilka dragas med i en rätlinig likformig rörelse. Detta är principen om den relativa rörelsen, som av tvenne skäl tvingar sig på oss. För det första bekräftas den av den dagliga erfarenheten, och för det andra väcker en motsatt hypotes en egendomlig motvilja hos vår ande.

Låtom oss emellertid antaga denna princip samt betrakta en för inverkan av en kraft utsatt kropp. Denna kropps relativa rörelse i förhållande till en åskådare, som själv innehar en likformig hastighet överensstämmande med kroppens begynnelsehastighet, borde vara identisk med vad som bleve kroppens absoluta rörelse, om den ginge ut ur vilotillståndet. Härav drager man den slutsatsen, att dess acceleration ej kan bero på dess absoluta hastighet och man har till och med försökt att härur draga ett bevis för accelerationslagen.

Spår av detta bevis återfunnos länge i skrivningarna för studentexamen, men klart är att ett sådant försök blir fruktlöst. Det hinder, som står i vägen för accelerationslagens bevisande är just, att vi icke hava någon definition på kraften och detta hinder kvarstår till hela sitt omfång, ty den åberopade principen har ej givit oss den definition vi voro i saknad utav.

Principen om den relativa rörelsen är därför ej mindre intressant och förtjänar att studeras för sin egen skull. Vi skola därför först och främst söka att giva den en bestämd form.

För en stund sedan sade vi, att accelerationen hos olika kroppar som utgöra delar i ett fristående system endast beror på deras relativa hastigheter och relativa lägen och icke på deras absoluta hastigheter och absoluta lägen förutsatt att de rörliga axlarna, till vilka den relativa rörelsen hänför sig, rycka fram med en rätlinig och likformig rörelse. Eller man kanske föredrager att säga, att deras acceleration endast beror på skillnaderna i deras hastigheter och skillnaderna i deras koordinater och icke på dessa hastigheters och koordinaters absoluta värden.

Om denna princip är riktig för de relativa accelerationerna, eller ännu bättre för accelerationsskillnaderna, skulle man genom att kombinera den med återverkningslagen kunna draga den slutsatsen, att den är riktig även för de absoluta accelerationerna.

Återstår sålunda att se, huru man skall kunna bevisa, att dessa accelerationers differenser endast bero på differenserna hos hastigheterna och koordinaterna eller, för att använda det matematiska uttryckssättet, att dessa koordinatdifferenser satisfiera differentialekvationer av andra ordningen.

Kan detta bevis härledas ur erfarenheter eller ur betraktelser a priori?

Genom att erinra sig, vad här ovan sagts, kan läsaren själv svara härpå.

Sålunda formulerad påminner principen om den relativa rörelsen i högsta grad om, vad jag tidigare benämnde den förallmänligade tröghetsprincipen. Det är emellertid ej alls samma sak, eftersom det här är fråga om skillnaderna mellan koordinaterna och icke om koordinaterna själva. Den nya principen lär oss sålunda någonting mera än den gamla, men samma diskussion kan här tillämpas och skulle föra till samma slutledningar, varför det är obehövligt att återupprepa dem.

Newtons argument. Här möter oss en ytterst viktig, men ganska invecklad fråga. Jag sade, att principen om den relativa rörelsen icke endast framstår för oss såsom ett experimentellt resultat och att a priori varje motsatt hypotes förefaller oss förnuftsvidrig.

Men varför är då principen riktig, endast om de rörliga axlarnas rörelse är rätlinig och likformig? Det förefaller, som om den borde tvinga sig på oss med samma styrka, om denna rörelse vore olikformig eller åtminstone om den inskränkte sig till en likformig rotation. I dessa båda fall är principen emellertid icke riktig.

Jag skall icke länge uppehålla mig vid det fallet, då axlarnas rörelse är rätlinig, utan att vara likformig. Paradoxen håller icke stånd ett ögonblick emot ett närmare studium. Om jag befinner mig i en järnvägskupé och tåget genom att stöta på något hinder plötsligt stannar, kastas jag över till soffan mitt emot, ehuru jag ej direkt varit utsatt för någon kraft. Här föreligger ingenting hemlighetsfullt, ty om jag icke varit utsatt för påverkan av någon yttre kraft, så har dock tåget självt erfarit en yttre stöt. Att tvenne kroppars relativa rörelse störes, så snart den enas eller andras rörelse rubbas genom en yttre orsak, kan icke anses vara något paradoxalt.

Jag skall något längre uppehålla mig vid de relativa rörelser, som äro att hänföra till de med likformig rotation sig vridande axlarna. Om himlen oavbrutet vore betäckt med moln, om vi aldrig hade något tillfälle att kunna iakttaga stjärnorna, så skulle vi icke desto mindre kunna draga den slutsatsen, att jorden vrider sig och vi skulle erhålla kännedom därom genom dess avplattning, eller ännu bättre genom experimentet med Foucaults pendel.

Men skulle det i sådant fall ligga någon mening uti att säga, att jorden vrider sig? Om det icke funnes någon absolut rymd, kunde en kropp då vrida sig, utan att vrida sig i förhållande till någonting och huru skulle vi å andra sidan kunna antaga Newtons slutsats och tro på en absolut rymd?

Men det är icke tillräckligt att konstatera, att alla möjliga lösningar i lika hög grad stöta oss för huvudet, utan vi måste vid var och en särskild undersöka skälen för vår motvilja, på det att vi med kunskap om skälen såsom stöd må kunna göra vårt val. Därför hoppas jag, att läsaren skall förlåta mig den långa undersökning som nu följer.

Vi återvända till vår inbillade värld. Tjocka moln dölja stjärnorna för människorna, som ej kunna observera dem och till och med leva i okunnighet om deras tillvaro. Men huru kunna dessa människor veta, att deras planet vrider sig? I ännu högre grad än vad våra förfäder gjorde, betrakta de säkerligen den mark som bär dem för fix och orubblig och de få antagligen ännu längre än de vänta på en Kopernikus' framträdande. Till slut kommer han ändock, men huru?

Denna världs mekaniker skulle för det första icke taga någon anstöt av en enligt vår uppfattning absolut motsägelse. I teorien för den relativa rörelsen uppmärksammar man utom de verkliga krafterna tvenne fingerade krafter, dem man benämner den vanliga centrifugalkraften och den sammansatta centrifugalkraften. Våra inbillade vetenskapsmän skulle sålunda kunna förklara allting, genom att betrakta dessa båda krafter såsom verkliga och de kunde däri icke finna någonting i strid med den förallmänligade tröghetsprincipen, ty dessa krafter bero, den ena på det relativa läget hos systemets olika delar, såsom vid de verkliga attraktionerna, och den andra på deras relativa hastigheter, såsom vid de verkliga friktionerna.

Emellertid skulle det ej dröja länge, innan åtskilliga svårigheter tilldroge sig deras uppmärksamhet. Om de lyckades uti att förverkliga ett fristående system, så skulle dettas tyngdpunkt icke hava en nära på rätlinig bana. För att förklara detta förhållande, skulle de kunna åberopa de centrifugala krafterna, vilka de betrakta såsom verkliga och vilka de utan tvivel tillskriva kropparnas ömsesidiga inverkan. De se dock icke dessa krafter förminskas vid längre och längre avstånd, det vill säga allt efter som isoleringen bättre förverkligas. Långt härifrån! Centrifugalkraften tilltager med avståndet i det oändliga.

Redan denna svårighet skulle förefalla dem ganska stor, men den skulle likväl icke länge uppehålla dem. De skulle snart uttänka något mycket känsligt medium, ungefär i enlighet med vår eter, vari alla kroppar bada och som på dessa utövar en tillbakastötande verkan.

Men ej nog härmed. Rymden är symmetrisk, och likväl framvisa rörelselagarna ingen som helst symmetri. De måste kunna skilja mellan höger och vänster. Man ser t. ex. att cyklonerna alltid röra sig i samma riktning, under det att dessa företeelser på grund av symmetrien oberoende borde kunna röra sig både i den ena och den andra riktningen. Om våra vetenskapsmän med möda och besvär lyckats göra sitt universum fullständigt symmetriskt, så äger dock denna symmetri icke bestånd, ehuru det ej finnes något begripligt skäl för, att den skulle rubbas i en riktning mera än i den andra.

De skola utan tvivel draga sig ur svårigheten, och hitta på någonting, som icke vore besynnerligare än Ptolomei glassfärer, och de fortsatte med att på detta sätt hopa komplikationer på varandra, till dess att den väntade Kopernikus i ett enda slag sopade bort dem allesammans, i det han sade: det är mycket enklare att antaga, att jorden rör sig.

Och på samma sätt som vår Kopernikus sade till oss: det är mycket bekvämare att förutsätta det jorden rör sig, emedan man därigenom uttrycker de astronomiska lagarna på ett mycket enklare språk, skulle deras Kopernikus säga: det är mycket bekvämare att förutsätta, det jorden rör sig, emedan man därigenom uttrycker de mekaniska lagarna på ett mycket enklare språk.

Detta hindrar icke, att den absoluta rymden, det vill säga det hjälpmedel vi måste sätta jorden i förbindelse med för att få veta, om hon verkligen vrider sig, ej har någon objektiv existens. Följaktligen har påståendet "jorden vrider sig" icke någon mening, eftersom ingen erfarenhet tillåter oss att verifiera det och eftersom en sådan erfarenhet ej skulle kunna varken förverkligas eller ens drömmas av den djärvaste Jules Verne, lika litet som den ej utan motsägelse kan låta sig uppfattas. Eller snarare, dessa två påståenden "jorden rör sig" och "det är bekvämare att förutsätta att jorden rör sig" hava en och samma betydelse, det finnes icke mera mening i det ena än i det andra.

Kanske nöjer man sig icke ens med detta och redan finner det egendomligt, att det ibland alla hypoteser eller snarare alla överenskommelser vi gjort angående denna sak, skall finnas en som är bekvämare än de andra.

Men om man utan svårighet har kunnat antaga den, vad de astronomiska lagarna beträffar, varför stötes man då tillbaka av den så fort det blir fråga om mekaniken?

Vi hava sett, att kropparnas koordinater bestämmas genom differentialekvationer av andra ordningen och att förhållandet är detsamma med dessa koordinaters skillnader. Detta är vad vi hava givit namnen den förallmänligade tröghetsprincipen och principen om den relativa rörelsen. Om dessa kroppars avstånd likaledes vore bestämda genom ekvationer av andra ordningen, skulle det synas oss, som om anden bleve fullständigt tillfredsställd. I vilken mån erhåller anden denna tillfredsställelse och varför nöjer den sig icke med den?

För att göra detta klart för oss skola vi taga ett enkelt exempel. Jag förutsätter ett med vårt solsystem analogt system, men där man ej kan iakttaga för detta system främmande fixstjärnor, så att astronomerna ej kunna observera något annat än planeternas och solens avstånd sinsemellan, men icke planeternas absoluta longituder. Om vi direkt ur Newtons lag ville härleda de differentialekvationer som bestämma dessa avstånds variationer, skulle dessa ekvationer icke bliva av andra ordningen. Jag menar, att om man förutom Newtons lag kände dessa avstånds begynnelsevärden och deras derivator med avseende på tiden, så vore detta ej tillräckligt för att bestämma dessa samma avstånds värden i ett senare ögonblick. Det fattades ännu en uppgift, och denna uppgift skulle t. ex. kunna vara just vad astronomerna kalla ytkonstanten.

Men här kan man intaga tvenne olika ståndpunkter. Vi kunna urskilja två slags konstanter. I fysikernas ögon inskränker sig världen till en räcka naturföreteelser, uteslutande beroende på å ena sidan begynnelseföreteelserna och å andra sidan på de lagar, som sammanbinda de efterföljande tillstånden med de föregående. När då iakttagelsen lär oss, att en viss kvantitet är en konstant, så hava vi att välja på två betraktelsesätt.

Endera antaga vi, att det finnes en lag, som ej tillåter denna kvantitet att variera, men att den av en slump befinnes ifrån tidernas begynnelse innehava ett visst värde i stället för ett annat och vilket den allt sedan dess har måst bibehålla. En sådan kvantitet skulle då kunna benämnas en tillfällig konstant.

Eller vi antaga i motsats härtill, att det finnes en naturlag, som påtvingar denna kvantitet ett bestämt värde och icke ett annat. Vi få då, vad man skulle kunna kalla en väsentlig konstant.

I kraft av Newtons lag bör såsom ett exempel jordens omloppstid vara konstant. Men om den är lika med 366 stjärndagar och litet till och icke 300 eller 400, så beror detta på någon oförklarlig slump ifrån begynnelsen. Den är en tillfällig konstant. Om däremot exponenten på avståndet, som förekommer i formeln över attraktionskraften, är lika med $-2$ och icke med $-3$ , så beror detta icke på slumpen, utan därpå att Newtons lag fordrar det. Detta är en väsentlig konstant.

Jag vet ej, om detta sätt att taga slumpen med i räkningen i och för sig självt kan vara berättigat, och om denna urskillning kanske är på något vis konstgjord, men ett är åtminstone säkert och det är, att så länge naturen ännu döljer hemligheter inom sig, blir detta sätts tillämpning högst godtycklig och alltid opålitlig.

Vad ytkonstanten beträffar, hava vi för vana att betrakta denna såsom tillfällig. Är det så alldeles säkert, att våra inbillade astronomer göra likadant? Om de kunde jämföra tvenne olika solsystem, skulle de fått den uppfattningen, att denna konstant kan hava flera olika värden. Men jag förutsatte i början, att deras system just syntes dem isolerat och att de ej kunde iakttaga några detta system utomstående stjärnor. Under sådana förhållanden skulle de blott kunna se en enda konstant, som hade ett enda absolut oföränderligt värde. De skulle otvivelaktigt föranledas att betrakta den såsom en väsentlig konstant.

Ett ord i förbigående för att förekomma en invändning. Denna inbillade världs invånare skulle varken kunna iakttaga eller definiera ytkonstanten såsom vi göra det, eftersom de absoluta longituderna undgå dem. Men detta hindrar ej, att de snart föranledas att lägga märke till en viss konstant, som helt naturligt ingriper i deras ekvationer och som ej vore någonting annat, än vad vi kalla ytkonstanten.

Men nu skola vi se, vad som kommer att inträffa. Om ytkonstanten betraktas såsom väsentlig, såsom beroende på en naturlag, så är det för beräknandet av planeternas avstånd i ett ögonblick vilket som helst tillräckligt att känna begynnelsevärdena hos dessa avstånd och hos deras första derivator. Ur denna synpunkt skulle avstånden styras av differentialekvationer av andra ordningen.

Skulle dessa astronomers ande emellertid känna sig fullständigt tillfredsställd? Jag tror det icke. Först och främst skulle de snart finna, att deras ekvationer bleve betydligt enklare, om de differentierade dem och sålunda upphöjde dem i en högre ordningen. Men de skulle i all synnerhet frapperas av den genom symmetriförhållandena förorsakade svårigheten. De bleve tvungna att antaga olika lagar, allt efter som planeternas ensemble framvisade figuren av en viss polyeder eller ännu bättre en symmetrisk polyeder, och denna konsekvens undgå de icke på annat sätt, än att betrakta ytkonstanten såsom tillfällig.

Jag har tagit ett ganska speciellt exempel, emedan jag förutsatt astronomer, som icke alls sysselsätta sig med den jordiska mekaniken och vilkas synkrets begränsas av deras solsystem, men våra slutsatser kunna tillämpas i vilka fall som helst. Vårt universum är mera utsträckt än deras, eftersom vi hava fixstjärnor, men det är ändock begränsat, det också, och därför kunna vi resonera över vårt universum i dess helhet, liksom dessa astronomer över sitt solsystem.

Som man ser, föres man till sist till den slutsatsen, att de ekvationer som definiera avstånden äro av högre ordning än den andra. Varför stöter detta oss, varför finna vi det helt naturligt, att företeelsernas följd beror på begynnelsevärdet hos dessa avstånds första derivator, under det att vi tveka att antaga, att de kunna bero på begynnelsevärdena hos de andra derivatorerna? Skälet härför kan icke vara något annat än de vår andes vanor, som uppstått hos oss genom det ständiga studerandet av den förallmänligade tröghetsprincipen och dennas konsekvenser.

Avståndens värden i ett vilket som helst ögonblick bero på deras begynnelsevärden, på begynnelsevärdena hos deras första derivator och på ännu en annan sak. Vad kan detta vara för en sak?

Om man ej vill, att det helt enkelt skall vara en av de andra derivaterna, har man intet annat val än hypoteserna. Att, såsom man vanligtvis gör, antaga det denna andra sak är universums absoluta inställning i rymden eller den hastighet med vilken denna orientation varierar, kan ju så vara, och detta är säkerligen den för geometern enklaste lösningen. För filosofien är den emellertid ej tillfredsställande, eftersom denna inställning icke existerar.

Man kan också antaga, att denna andra sak är någon osynlig kropps läge eller hastighet och detta är just vad vissa personer hava gjort, de hava till och med givit denna kropp namnet alpha, ehuru man på förhand vet, att vi aldrig skola erhålla någon annan kännedom om denna kropp än blott och bart dess namn. Detta är en förkonstling, alldeles i överensstämmelse med den jag talade om i den åt mina reflexioner över tröghetsprincipen ägnade paragrafen.

Men svårigheten i sin helhet är konstgjord. Förutsatt att våra instrumenters framtida anvisningar allenast bero på de anvisningar de redan givit eller som de förut skulle kunna hava givit oss, så är detta allt som behöves. I detta avseende kunna vi sålunda vara lugna.