Vetenskapen och hypoteserna. Elfte kapitlet

Probabilitetskalkylen.

Säkerligen skall mången förvåna sig över, att här återfinna betraktelser över probabilitetskalkylen. Vad har den att göra med den fysikaliska vetenskapens metoder?

Och likväl, de frågor jag här kommer att framkasta utan att lösa inställa sig av sig själva för filosofen, som vill anställa betraktelser över fysiken.

Det är på den grund jag i de två föregående kapitlen flere gånger har haft anledning nämna probabiliteten eller sannolikheten och slumpen.

"De förutsedda fakta," sade jag för en stund sedan, "kunna blott vara sannolika. Huru fast grundat ett förutseende än kan synas oss vara, äro vi aldrig absolut säkra på, att icke experimentet kan vederlägga det. Men sannolikheten är ofta tillräckligt stor för att vi praktiskt taget skola kunna nöja oss med den."

Och litet längre ned har jag tillagt: "Vi böra lägga märke till den roll förlitandet på enkelheten spelar vid våra förallmänliganden. Vi hava verifierat en enkel lag i ett ansenligt antal speciella fall. Vi tillbakavisa det antagandet, att ett så ofta upprepat bekräftande skulle helt enkelt vara en ödets nyck…"

I en mängd fall befinner sig fysikern i samma situation som spelaren, när han beräknar sina chancer. Varje gång han drager en slutsats medels induktion, använder han sig mer eller mindre omedvetet av probabilitetskalkylen.

Detta är anledningen till, att jag blir tvungen inflicka en längre parentes och avbryta vårt studium av metoden i de fysikaliska vetenskaperna, för att något närmare undersöka probabilitetskalkylens värde och vilket förtroende den förtjänar.

Själva namnet "probabilitetskalkylen" är en paradox. Sannolikheten såsom motsats till vissheten är ju någonting som man ej känner och huru skall man kunna beräkna något, som man ej känner till? I alla händelser hava många framstående vetenskapsmän sysselsatt sig med denna kalkyl och förnekas kan ej, att vetenskapen dragit en viss fördel därav. Huru förklara denna skenbara motsägelse?

Är sannolikheten definierad och kan den ens definieras? Och om den ej kan definieras, huru vågar man då draga slutsatser ur den? Definitionen, invänder man, är mycket enkel, ty en tilldragelses sannolikhet är förhållandet mellan antalet av för denna tilldragelse gynnsamma omständigheter och det totala talet för dess möjligheter.

Ett enkelt exempel torde åskådliggöra, huru ofullständig denna definition är. Jag kastar tvenne tärningar. Vilken sannolikhet finnes för, att åtminstone den ena av dem skall visa en sexa? Varje tärning kan giva sex olika kast. Antalet möjliga fall blir $6\times 6=36$ , och antalet gynnsamma fall är 11; sannolikheten blir ${\frac {11}{36}}$ .

Detta är den korrekta lösningen. Men skulle jag icke lika gärna kunna säga, som följer: de två tärningarnas kast kunna tillsammans bilda ${\frac {6\times 7}{2}}=21$ olika sammanställningar. Av dessa 21 sammanställningar äro 6 gynnsamma och sannolikheten blir alltså ${\frac {6}{21}}$ .

Varför är det första sättet att beräkna de möjliga fallen mera berättigat än det andra? Under alla förhållanden kan vår definition icke lära oss det.

Således bringas man att fullständiga denna definition genom att säga: "… och hela antalet möjliga fall, förutsatt att dessa fall äro i lika grad sannolika". Vi bringas således att definiera det sannolika med det sannolika.

Huru veta vi, att tvenne möjliga fall äro i lika grad sannolika? Veta vi det genom överenskommelse? Om vi i början av varje problem sätta en tydligt uttalad överenskommelse, då går allting bra; vi behöva blott tillämpa reglerna för aritmetiken och algebran, och vi kunna avsluta vår kalkyl, utan att det uppnådda resultatet lämnar någon plats för tvivlet. Men om vi vilja göra den minsta tillämpning, måste vi bevisa, att vår överenskommelse var berättigad och vi stå åter ansikte mot ansikte med den svårighet vi trott oss hava kringgått.

Kan man påstå, att sunda förnuftet är tillräckligt för att giva oss anvisning på, vilken överenskommelse som bör göras? Därpå är ej lätt att giva ett svar. Bertrand roade sig med att uppställa ett enkelt problem: "vilken är sannolikheten för, att en corda i en cirkelperiferi är större än sidan av en däri inskriven liksidig triangel?" Den berömde geometern har efter varandra antagit tvenne överenskommelser, som synas i lika grad tvinga sig på sunda förnuftet och med den ena har han funnit ${\frac {1}{2}}$ , med den andra ${\frac {1}{3}}$ .

Den slutsats, som tyckes framgå ur allt detta, är att probabilitetskalkylen skulle vara en onyttig vetenskap, att man bör vara på sin vakt emot den dunkla instinkt vi benämna sunda förnuftet och av vilket vi begära att det skall legitimera våra överenskommelser.

Men denna slutsats kunna vi ej heller vara med om att skriva under, ty vi kunna icke reda oss utan vår dunkla instinkt, utan den skulle ingen vetenskap vara möjlig, utan den skulle vi varken kunna upptäcka en lag eller använda oss av en sådan. Hava vi någon rättighet att uttala t. ex. Newtons lag? Tvivelsutan, ty talrika iakttagelser äro ovedersägligen i samstämmighet med den, men är icke detta helt enkelt en följd av slumpen? Huru veta vi för övrigt, om ej denna visserligen under så många sekler riktiga lag kanske skall visa sig icke vara det nästa år? På denna invändning finna vi intet svar, om icke det att "Detta är föga troligt".

Men låtom oss antaga lagen; tack vare den tror jag mig kunna beräkna Jupiters ställning under ett års tid. Har jag rätt därtill? Vem säger mig, att ej en jättestor med enorm hastighet förlänad massa kan komma någonstädes ifrån och passera i närheten av solsystemet samt i detta förorsaka oförutsedda rubbningar? Härpå finnes icke heller något annat svar än samma: "Detta är föga troligt?"

Från denna synpunkt sett skulle alla vetenskaper endast vara omedvetna tillämpningar av probabilitetskalkylen, och att förkasta denna räkning vore detsamma som att förkasta vetenskapen i dess helhet.

Jag skall mindre uppehålla mig vid sådana vetenskapliga problem, vid vilka probabilitetskalkylens ingripande tydligare framträder. Ett sådant är i första hand interpolationsproblemet, där man känner ett visst antal värden av en funktion samt försöker gissa sig till de mellanliggande värdena.

Jag hänvisar likaledes till den berömda teorien om iakttagelsefelen, till vilken jag längre fram skall återkomma, den kinetiska gasteorien, en välbekant hypotes, enligt vilken varje gasmolekyl antages beskriva en utomordentligt invecklad bana, men enligt vilken och såsom en följd av de stora talens lag genomsnittsiakttagelserna, såsom de enda iakttagbara, lyda enkla lagar såsom Mariottes och Gay-Lussacs.

Alla dessa teorier stödja sig på de stora talens lag, och probabilitetskalkylen skulle självklart draga dem med sig vid sitt fall. Sant är, att de blott hava ett begränsat intresse och att, med undantag för vad som angår interpolationen, detta vore sådana uppoffringar, dem man ju kunde taga ganska lugnt.

Men, som jag förut sagt, var det icke endast fråga om dessa speciella uppoffringar, utan hela vetenskapens berättigande skulle komma att dragas i tvivelsmål.

Jag förstår mycket väl den invändning jag har att vänta, nämligen att "vi äro okunniga och likväl måste vi handla. För att kunna handla hava vi icke tid att överlämna oss åt en tillräckligt djupgående undersökning och såmedels skingra vår okunnighet. För övrigt skulle en sådan undersökning erfordra oändlig tid. Vi måste därför fatta vårt beslut utan att äga visshet, och vi måste göra det på god tro samt följa reglerna utan att alltför mycket lita på dem. Jag vet ej, om den eller den saken är riktig, men jag vet att det bästa för mig är, att i alla fall handla, som om den vore det". Probabilitetskalkylen och följaktligen även vetenskapen skulle då endast hava ett praktiskt värde.

Olyckligtvis skingras svårigheten icke härigenom. En spelare vill göra ett drag, och han frågar mig till råds. Om jag giver honom ett sådant, så vädjar jag till probabilitetskalkylen, men jag garanterar honom icke att lyckas, och detta vill jag kalla den subjektiva probabiliteten. I detta fall kan man nöja sig med den förklaring jag nyss i stora drag antytt. Men jag förutsätter, att en iakttagare är närvarande vid spelet och att han antecknar alla drag samt att spelet drager långt ut på tiden. När han sedan gör ett överslag av sina anteckningar, skall han finna, att händelserna försiggått i överensstämmelse med probabilitetskalkylen. Detta är, vad jag vill kalla den objektiva probabiliteten och denna företeelse fordrar en vidare förklaring.

Det finnes otaliga försäkringsbolag, som tillämpa probabilitetskalkylen och de lämna sina aktieägare en utdelning, vars objektiva realitet icke kan bestridas. För att förklara denna utdelning är det icke tillräckligt, att vi åberopa oss på vår okunnighet och nödvändigheten att handla.

Den absoluta skepticismen kan sålunda icke hävda sin plats; vi böra vara misstänksamma mot oss själva, men vi få icke förkasta allting i klump. Det visar sig nödvändigt att pröva frågorna.

1. Probabilitetsproblemens indelning. För att klassificera de problem, som framställa sig på tal om probabiliteten, kan man intaga flere olika synpunkter, varav den första är den allmänna synpunkten. Jag sade högre upp, sannolikheten är förhållandet mellan antalet gynnsamma och antalet möjliga fall. Vad jag i brist på ett bättre uttryck vill kalla allmänlighet växer med antalet möjliga fall. Detta tal kan vara avslutat, såsom t. ex. om man betraktar ett tärningskast, där de möjliga fallen äro 36. Här hava vi allmänlighetens första grad.

Men om vi till exempel fråga, vilken sannolikheten är för att en punkt inuti en cirkel även ligger innanför en inskriven kvadrat, föreligga lika många möjliga fall, som det finnes punkter i cirkeln, d. v. s. en oändlighet. Detta blir då allmänlighetens andra grad. Allmänligheten kan drivas mycket längre. Man kan fråga efter sannolikheten för, att en funktion satisfierar ett givet villkor, och här föreligga lika många möjliga fall, som man kan föreställa sig olika funktioner. Här skulle vi då hava allmänlighetens tredje grad, dit man når upp exempelvis, när man ur ett avslutat antal gjorda observationer försöker gissa sig till den sannolikaste lagen.

Man kan även intaga en helt och hållet avvikande synpunkt. Om vi icke vore okunniga, funnes det ej någon probabilitet, det gåves då ej plats för något annat än vissheten. Men vår okunnighet kan icke vara fullständig, ty i så fall skulle det ej en gång finnas någon probabilitet, eftersom det dock behöves någon smula ljus även för att nå fram till denna så ovissa vetenskap. Probabilitetsproblemen kunna sålunda ordnas, alltefter vår okunnighets större eller mindre grad.

Redan inom matematiken kunna probabilitetsproblem uppställas. Vilken är sannolikheten för, att 5:te decimalen av en på en höft ur en tabell tagen logaritm skall vara 9? Man tvekar ej att svara, att denna sannolikhet är ${\frac {1}{10}}$ . Här äro vi i besittning av alla problemets förutsättningar. Vi skulle kunna beräkna vår logaritm, utan att anlita tabellen, men vi vilja ej göra oss det besväret. Detta är okunnighetens första grad.

Inom den fysikaliska vetenskapen är vår okunnighet redan mycket större. Ett systems tillstånd i ett givet ögonblick beror på tvenne saker, nämligen dess begynnelseläge och den lag, enligt vilken detta tillstånd varierar. Om vi på samma gång kände denna lag och detta begynnelseläge, så hade vi endast att lösa ett matematiskt problem, och vi skulle återfalla i den första okunnighetsgraden.

Ofta händer det, att man känner lagen men icke begynnelsetillståndet. Man frågar t. ex., vilken den aktuella fördelningen av småplaneterna är. Vi veta, att dessa i alla tider lytt Keplers lager, men vi äro okunniga om deras ursprungliga fördelning.

I den kinetiska gasteorien förutsätter man, att gasmolekylerna följa rätliniga banor och lyda lagarna för de elastiska kropparnas stötar, men eftersom man ingenting känner om deras begynnelsehastigheter, så vet man heller ingenting om deras aktuella hastigheter.

Probabilitetskalkylen ensam tillåter oss förutse de genomsnittsfenomen, som framgå ur dessa hastigheters sammansättning. Här hava vi den andra okunnighetsgraden.

Slutligen är det möjligt, att icke endast begynnelsevillkoren, utan även lagarna själva äro oss okända. I så fall nå vi fram till okunnighetens tredje grad, och man kan i allmänhet icke längre påstå någonting alls angående en företeelses sannolikhet.

I stället för att söka gissa sig till en tilldragelse enligt en mer eller mindre ofullständig kännedom om lagen, händer det ofta, att man känner själva tilldragelsen, men försöker gissa sig till lagen, att man i stället för att sluta sig till verkningarna av orsakerna, vill sluta sig till orsakerna av verkningarna. Sådana problem hänföra sig då till, vad som fått namnet orsakernas sannolikhet och betraktade från den synpunkten, huru de tillämpas inom vetenskapen, äro dessa problem de intressantaste.

Jag spelar écarté med en herre, som jag vet är fullkomligt ärlig. Han ger. Vilken är sannolikheten för, att han slår upp en kung? Jo, ${\frac {1}{8}}$ . Här föreligger ett probabilitetsproblem angående verkningarna. Jag spelar med en herre, som jag ej alls känner. Han har givit 10 gånger och slagit upp kung 6 gånger. Vilken är sannolikheten för att han är en falskspelare? Detta är ett probabilitetsproblem angående orsakerna.

Man skulle kunna säga, att detta är den experimentella metodens huvudsakliga problem. Jag har iakttagit $n$ värden av $x$ samt motsvarande värden av $y$ . Jag har konstaterat, att de senares förhållande till de förstnämnda är märkbart konstant. Här är tilldragelsen, men var är orsaken?

Är det sannolikt, att det finnes en allmän lag, enligt vilken $y$ skulle vara proportionell med $x$ och att de små avvikelserna äro att hänföra till iakttagelsefelen? Frågor av detta slag uppdyka oupphörligt, och vi lösa dem omedvetet, varje gång vi göra vetenskap.

Jag skall nu låta dessa olika slag problemer passera revy och efter vartannat genomgå, vad jag nyss benämnde den subjektiva och vad jag benämnde den objektiva probabiliteten.

2. Probabiliteten i den matematiska vetenskapen. Omöjligheten av cirkelns kvadratur har varit bevisad sedan 1883, men långt före detta sena årtal betraktade geometrerna denna omöjlighet i så hög grad "sannolik", att Franska Akademien utan undersökning tillbakavisade alla de alltför talrika avhandlingar, som en mängd olyckliga dårar varje år insände över detta ämne.

Gjorde Akademien orätt? Tydligen icke, och den visste, att den genom att handla på detta sätt alldeles icke löpte fara att i dess linda kväva någon verklig upptäckt. Den skulle emellertid icke hava kunnat bevisa, att den hade rätt, men den kände att dess instinkt icke bedrog den. Om man hade gjort akademiledamöterna en fråga i denna riktning, skulle de hava svarat: "Vi hava jämfört sannolikheten för, att en okänd vetenskapsman skulle kunna finna, det man så länge förgäves har sökt, med sannolikheten för att det finnes ännu en dåre till här på jorden, och sannolikheten för det senare har synts oss störst." Detta är ju mycket goda skäl, men de innehålla intet matematiskt, utan äro av rent psykologisk natur.

Och om man ansatt dem ytterligare, skulle de hava tillagt: "Varför vill ni, att ett speciellt värde av en transcedent funktion skall bliva ett algebraiskt tal, och om $\pi$ vore roten till en algebraisk ekvation, varför vill ni, att just denna rot skall bliva en period vid funktionen $\sin 2x$ och att förhållandet icke skulle bliva detsamma med denna ekvations övriga rötter? De skulle med ett ord åberopa sig på principen om tillräcklig grund under dess allra obestämdaste form.

Men vad kunde de draga härur? På sin höjd en förhållningsregel för användandet av sin tid, vilken mycket bättre utnyttjades, när de togo den i anspråk för sina vanliga arbeten, än om de satte till den för en läsning, som ingav dem berättigat misstroende. Men vad jag här ovan kallade den objektiva probabiliteten, har emellertid ingenting att skaffa med detta första problem.

Helt annorlunda förhåller det sig med det andra problemet.

Vi taga de första 10,000 logaritmerna, vi finna i en tabell i betraktande och bland dessa 10,000 logaritmer välja vi en på måfå. Huru stor är sannolikheten för att dess tredje decimal är ett jämnt tal? Svaret blir utan tvekan ${\frac {1}{2}}$ , och verkligen, om man i en tabell genomgår de första 10,000 talen, skall man finna att tredje decimalen utgöres nästan lika många gånger av ett jämnt som av ett udda tal.

Eller om man föredrager ett annat sätt, kunna vi skriva upp 10,000 tal, som motsvara våra 10,000 logaritmer, och vart och ett av dessa tal skall vara lika med $+1$ , om tredje decimalen i den motsvarande logaritmen är ett jämnt tal och i motsatt fall lika med $-1$ . Låtom oss till sist taga medelvärdet av dessa 10,000 tal.

Jag tvekar icke att säga, att medelvärdet av dessa 10,000 tal sannolikt är noll och om jag utförde räkningen, skulle jag kunna konstatera, att det vore mycket litet.

Men själva denna verifikation vore onödig. Jag hade kunnat lämna ett strängt bevis för, att detta medeltal är mindre än 0,003. För att fastställa detta resultat bleve en mycket lång kalkyl av nöden, vilken näppeligen skulle få plats här, varför jag inskränker mig till att hänvisa till en artikel, som jag publicerat i Revue générale des Sciences av 15 april 1899. Den enda punkt jag här vill fästa uppmärksamheten vid är följande: i denna kalkyl behöver jag blott stödja mig på två fakta, nämligen att logaritmens såväl första som andra derivata i det betraktade intervallet förblir innesluten mellan vissa gränser.

Härur erhålles såsom en första följd, att egenskapen är riktig icke endast för logaritmen utan även för vilken kontinuerlig funktion som helst, eftersom varje kontinuerlig funktions derivator förbliva mellan vissa gränser.

Om jag på förhand var säker på resultatet, så berodde detta för det första därpå, att jag ofta iakttagit analoga förhållanden vid andra kontinuerliga funktioner, och för det andra därför att jag mer eller mindre omedvetet och ofullständigt inom mig själv företagit det resonemang som förde mig till ovannämnda olikheter, alldeles som en övad räknare säger till sig själv, innan han avslutat en multiplikation, att "det blir ungefär så och så mycket".

Och då för övrigt, vad jag kallade min intuition endast var en ofullständig skymt av ett verkligt resonemang, så kan man förstå, varför iakttagelsen har bekräftat mina förutsägelser, och att den objektiva probabiliteten alltså stod i samklang med den subjektiva.

Såsom tredje exempel väljer jag följande problem: ett tal $u$ har valts på måfå; $n$ är ett mycket stort givet helt tal; vilket är det sannolika värdet på $\sin nu$ ? Detta problem har i och för sig alls ingen mening, och för att giva det en sådan blir en överenskommelse av nöden. Vi komma sålunda överens om, att sannolikheten för att talet $u$ skall uppfattas såsom liggande mellan $a$ och $a+da$ är lika med $\varphi (a)\,da$ , samt att den följaktligen är proportionell mot utsträckningen av det oändligt lilla intervallet $da$ och lika med denna utsträckning multiplicerad med en funktion $\varphi (a)$ , som endast är beroende på $a$ . Vad denna funktion beträffar, har jag valt den godtyckligt, men jag måste nödvändigtvis förutsätta, att den är kontinuerlig. När värdet på $\sin nu$ förblir detsamma, då $u$ förstoras med $2\pi$ , kan jag utan att göra någon inskränkning i allmängiltigheten förutsätta, att $u$ uppfattas ligga mellan 0 och $2\pi$ , och jag föranledes sålunda att förutsätta det $\varphi (a)$ är en periodisk funktion, vars period är $2\pi$ .

Det sökta sannolika värdet uttryckes lätt genom en enkel integral, och det är ej svårt att visa, att denna integral är mindre än

\displaystyle {\frac {2\pi M_{k}}{n^{k}}}

,

varvid $M_{k}$ betecknar största värdet av $k$ :te derivatan av $\varphi (u)$ . Man finner sålunda, att om denna $k$ :te derivata är ändlig, så närmar sig vårt sannolika värde noll, när $n$ växer obegränsat och detta hastigare än

\displaystyle {\frac {1}{n^{k-1}}}

.

Det sannolika värdet på $\sin nu$ för mycket stort värde på $n$ är sålunda noll. För att definiera detta värde är jag i behov av en ny överenskommelse, men resultatet förblir detsamma, vilken än denna överenskommelse blir. Jag pålägger mig blott några obetydliga inskränkningar genom att förutsätta, det funktionen $\varphi (a)$ är kontinuerlig och periodisk och dessa hypoteser äro så till den grad naturliga, att man väl knappast kan undgå dem.

Undersökningen av de tre föregående i varje hänseende sinsemellan så olika exemplen har redan låtit oss skymta å ena sidan värdet av, vad filosoferna benämna principen om tillräcklig grund samt å andra sidan vikten av det sakförhållandet, att vissa egenskaper äro gemensamma för alla kontinuerliga funktioner. Studiet av probabiliteten inom den fysikaliska vetenskapen skall föra oss till samma resultat.

3. Probabiliteten inom den fysikaliska vetenskapen. Vi komma nu fram till de problemer, som hänföra sig till vad jag tidigare kallade den andra okunnighetsgraden. Dessa äro sådana, vid vilka vi känna lagen, men där systemets begynnelsetillstånd är oss obekant. Jag skulle kunna anföra en mängd exempel, men vill inskränka mig till ett enda: vilken är de små planeternas sannolika aktuella fördelning över djurkretsen?

Vi veta, att dessa planeter lyda Keplers lagar. Vi kunna till och med utan att ändra någonting i problemets natur förutsätta, att deras omloppsbanor alla äro cirkulära och belägna i ett och samma plan och att vi känna detta.

Däremot äro vi fullständigt okunniga om deras ursprungliga fördelning. Emellertid tveka vi ej att påstå, att denna fördelning den dag som i dag är, är nära på likadan. Och varför?

Låt $b$ vara en liten planets longitud i begynnelseögonblicket, d. v. s. i ögonblicket noll; låt $a$ vara dess medelrörelse; dess longitud i det aktuella ögonblicket, d. v. s. i ögonblicket $t$ , blir då $at+b$ . Att påstå, att den aktuella fördelningen är likformig, blir detsamma som att säga, att medelvärdet av sinus och cosinus av multiplerna på $at+b$ är lika med noll. Varför göra vi detta påstående?

Låtom oss framställa varje liten planet medels en punkt i ett plan och just genom den punkt, vars koordinater äro precis $a$ och $b$ . Alla dessa ställföreträdande punkter innefattas inom ett visst område av planet, men som de äro mycket talrika, förefaller detta område fullständigt översållat med punkter. För övrigt hava vi oss ingenting bekant angående dessa punkters fördelning.

Huru skall man bära sig åt, om man vill tillämpa probabilitetskalkylen på en sådan fråga? Vilken är sannolikheten för, att en eller flere av de ställföreträdande punkterna befinna sig i den eller den delen av planet? I vår okunnighet bringas vi att göra en godtycklig hypotes. För att tydliggöra denna hypotes' natur, hoppas jag att man tillåter mig att i stället för en matematisk formel använda en klumpig men konkret bild. Vi vilja föreställa oss, att på vårt plans yta någon sorts materia utbretts, vars täthet är föränderlig, men varierar kontinuerligt. Vi komma överens om, att säga att det antagliga antalet ställföreträdande punkter, som befinna sig på en del av planet, är proportionellt mot den inbillade materia som befinner sig på denna samma del. Om man då har två områden av samma utsträckning på planet, så skulle sannolikheterna för att en, någon av de små planeterna ställföreträdande punkt, befunne sig inom det ena eller andra området, sinsemellan förhålla sig såsom den inbillade materiens genomsnittstäthet inom det ena och det andra området.

Här förekomma således tvenne fördelningar, nämligen en verklig, där de ställföreträdande punkterna äro mycket talrika och mycket hopträngda, men diskreta såsom materiens molekyler i atomhypotesen, och en annan långt avlägsnad från verkligheten, där våra ställföreträdande punkter äro ersatta av en inbillad kontinuerlig materia. Vi veta, att denna senare fördelning ej är verklig, men vår okunnighet nödgar oss att antaga den.

Om vi hade någon idé om dessa ställföreträdande punkters verkliga fördelning, skulle vi kunna ordna på så sätt, att inom ett område av en viss utsträckning tätheten hos denna inbillade kontinuerliga materia bleve nära på proportionell emot de ställföreträdande punkternas antal, eller, om man så vill, mot de atomer som detta område innehåller. Detta är emellertid omöjligt, och vår okunnighet är så stor, att vi bliva tvungna att godtyckligt välja den funktion, som definierar vår inbillade materias täthet. Vi måste endast underkasta oss en hypotes, vilken vi knappast kunna undandraga oss och vi förutsätta att denna funktion är kontinuerlig. Som vi skola se, är detta tillräckligt för att tillåta oss att draga en slutsats.

Vilken är de små planeternas sannolika fördelning i ögonblicket $t$ ? Eller bättre, vilket är det sannolika värdet av longitudens sinus i ögonblicket $t$ , d. v. s. av $sin(at+b)$ ? Vi gjorde i början en godtycklig överenskommelse, men om vi antaga den, blir detta sannolika värde helt och hållet bestämt. Låtom oss sönderlägga planet i ytelementer och betrakta värdet av $\sin(at+b)$ i var och en av dessa elementers medelpunkt, vidare multiplicera vi detta värde med elementets yta och med den täthet, som motsvarar den inbillade materian och slutligen bilda vi summan för alla planets elementer. Denna summa skall enligt definitionen utgöra det sökta, sannolika medelvärdet, vilket sålunda befinnes uttryckt genom en dubbelintegral.

Vid första ögonkastet skulle man kunna tro, att detta medelvärde beror på valet av funktionen $\varphi$ , som definierar den inbillade materians täthet och att vi, emedan denna funktion $\varphi$ är godtycklig, allt efter det godtyckliga val vi göra, skulle kunna erhålla vilket medelvärde som helst. Så är emellertid icke fallet.

En enkel kalkyl skall visa, att vår dubbelintegral mycket hastigt avtager, om $t$ tillväxer.

Sålunda visste jag icke riktigt, vilken hypotes jag skulle göra beträffande sannolikheten för den eller den ursprungliga fördelningen, men vilken den gjorda hypotesen än må vara, så blir resultatet alltid detsamma och detta hjälper mig ur förlägenheten.

Vilken än funktionen $\varphi$ må vara, så närmar sig medelvärdet mot noll, när $t$ tillväxer, och som de små planeterna säkerligen hava fullbordat ett mycket stort antal omlopp, kan jag förfäkta, att detta medelvärde måste vara mycket litet.

Jag kan välja $\varphi$ efter önskan, dock med en enda inskränkning, nämligen att denna funktion skall vara kontinuerlig och från den subjektiva probabilitetens synpunkt sett, skulle valet av en diskontinuerlig funktion vara oförnuftig. Vilket skäl har jag för att t. ex. förutsätta, att begynnelselongituden skulle vara precis lika med 0°, men att den ej kan uppfattas såsom liggande mellan 0° och 1°?

Men svårigheten dyker åter upp, om man intager den objektiva probabilitetens synpunkt, om man övergår från vår inbillade fördelning, varvid den fingerade materien förutsattes kontinuerlig, till den verkliga fördelningen, där våra ställföreträdande punkter förhålla sig såsom diskreta atomer.

Medelvärdet på $\sin(at+b)$ framställes helt enkelt genom

\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum \sin(at+b)

,

varvid $n$ betecknar de små planeternas tal. I stället för en dubbel integral, som hänför sig till en kontinuerlig funktion, få vi en summa av diskreta termer. Och likväl torde ingen på allvar tvivla på, att icke detta medelvärde verkligen är mycket litet.

Detta kommer sig därutav, att våra ställföreträdande punkter äro mycket sammanträngda och vår diskreta summa därför i allmänhet föga skiljer sig från en integral.

En integral är den gräns, vilken en summa av termer närmar sig, när dessa termers antal växer i oändlighet. Om dessa termer äro mycket talrika, så skiljer sig summan högst obetydligt från sin gräns d. v. s. från integralen och vad jag sagt om denna sistnämnda, blir även riktigt om summan själv.

Icke desto mindre gives det undantagsfall. Om man t. ex. för alla småplaneterna hade

\displaystyle b={\frac {\pi }{2}}-at

,

så skulle alla planeterna vid tidpunkten $t$ finna sig hava longituden $\displaystyle {\frac {\pi }{2}}$ och medelvärdet skulle tydligen vara lika med 1. Härför erfordras, att de små planeterna i tidpunkten 0 allesammans hade varit placerade i en sorts spiral av särskild form med ytterst sammanträngda vindlingar. Var och en torde vara överens med mig om, att en sådan begynnelsefördelning är föga sannolik (och till och med om man förutsatte, att den vore verklig, så skulle fördelningen icke vara likformig vid nuvarande tidpunkt, t. ex. den 1 januari 1900, men den bleve det åter några år senare).

Varför hålla vi i alla händelser denna begynnelse fördelning för otrolig? Detta torde nödvändigtvis tarva en förklaring, ty om vi ej hade något skäl att tillbakavisa denna orimliga hypotes såsom osannolik, skulle allting störta samman, och med avseende på sannolikheten skulle vi icke längre kunna påstå varken den ena eller andra aktuella fördelningen.

Vad vi här åberopa oss på, är återigen principen om tillräcklig grund, till vilken vi alltid komma tillbaka. Vi skulle kunna antaga, att planeterna i begynnelsen voro fördelade i en nära nog rät linje och vi skulle kunna antaga, att de voro oregelbundet fördelade, men det förefaller, som om tillräcklig grund icke förelåge för, att den okända orsaken, som låtit dem uppstå, skulle hava handlat enligt en så regelbunden och på samma gång så invecklad kurva, vilken förefaller att just hava blivit vald, enkom för att den aktuella fördelningen icke skulle vara likformig.

4. Rouge et noir. De frågor, som uppstå angående hasardspel och rouletten, äro i grund och botten fullständigt av samma natur, som den vi nyss behandlat.

En tavla är t. ex. uppdelad i ett stort antal lika stora fält, vartannat rött, vartannat svart. En visare försättes med stor kraft i rörelse och sedan den gjort ett betydligt antal varv, stannar den framför ett av dessa fält. Sannolikheten för att detta fält är rött, är tydligen lika med ${\frac {1}{2}}$ .

Nålen skall vrida sig om en vinkel $\vartheta$ , innefattande flere varv, den är således större än 360 grader. Jag vet icke, vilken sannolikheten är för att nålen sättes i rörelse med sådan kraft, att denna vinkel kan uppfattas mellan $\vartheta$ och $\vartheta +d\vartheta$ , men jag kan göra en överenskommelse. Jag kan förutsätta, att denna sannolikhet är lika med $\varphi (\vartheta )\,d\vartheta$ . Vad beträffar funktionen $\varphi (\vartheta )$ , så kan jag välja den på ett fullständigt godtyckligt sätt. Det finnes ingenting, som kan leda mig i mitt val, emellertid föranledes jag helt naturligt att förutsätta denna funktion såsom kontinuerlig.

Låt $\varepsilon$ vara längden (beräknad på en periferi med radien 1) hos varje rött eller svart fält.

Man måste beräkna integralen på $\varphi (\vartheta )\,d\vartheta$ genom att å ena sidan utsträcka den till alla röda och å andra sidan till alla svarta fält samt sedan jämföra resultaten.

Låtom oss taga ett intervall $2\varepsilon$ i betraktande, som då omfattar ett rött fält jämte det näst följande svarta. Låt $M$ och $m$ vara funktionens $\varphi (\vartheta )$ största och minsta värde i detta intervall. Den till de röda fälten utsträckta integralen blir mindre än $\sum M\varepsilon$ , och den till de svarta fälten utsträckta integralen blir större än $\sum m\varepsilon$ . Skillnaden visar sig således mindre än $\sum (M-m)\varepsilon$ . Men om funktionen $\varphi$ förutsättes kontinuerlig, om å andra sidan intervallet $\varepsilon$ är mycket litet i förhållande till den totala av nålen genomlupna vinkeln, så blir skillnaden $M-m$ mycket liten. Skillnaden mellan de tvenne integralerna blir således mycket liten, och sannolikheten bör ligga i närheten av ${\frac {1}{2}}$ .

Klart är, att jag, utan att känna någonting om funktionen $\varphi$ , kan handla som om sannolikheten vore ${\frac {1}{2}}$ . Å andra sidan förstår man, varför iakttagelsen skulle giva mig ungefär lika många svarta som röda utslag, om jag intoge en objektiv synpunkt och iakttoge ett visst antal fall.

Alla spelare känna denna objektiva lag, men den förleder dem till ett egendomligt misstag, som ofta påvisats, men vartill de ständigt återfalla. När rött har utfallit t. ex. sex gånger å rad, göra de sin insats på svart och tro sig då vara vissa om framgång, emedan, säga de, det är ytterst sällsynt, att rött utfaller sju gånger i följd.

Faktiskt blir deras sannolikhet för vinst lika med ${\frac {1}{2}}$ . Iakttagelsen visar visserligen, att serier av rött sju gånger efter varandra äro mycket sällsynta, men serier av sex gånger rött, varpå följer svart, äro också lika sällsynta. De hava lagt märke till sällsyntheten av serier på sju röda, och att de ej lagt märke till sällsyntheten av sex röda med efterföljande svart, beror helt enkelt därpå, att sådana serier ej göra samma starka intryck på oss, som de förra.

5. Orsakernas sannolikhet. Jag kommer nu fram till problemen angående orsakernas sannolikhet och sedda från de vetenskapliga tillämpningarnas synpunkt äro dessa de viktigaste. Två stjärnor till exempel ligga varandra ganska nära på himlavalvet. Är då detta ögonskenliga grannskap en verkan av slumpen och äro dessa stjärnor, ehuru de tyckas ligga nästan i samma synlinje, belägna på mycket olika avstånd från jorden och följaktligen mycket avlägsna från varandra? Eller bättre uttryckt, finnes ett motsvarande verkligt grannskap? Här föreligger ett problem angående orsakernas sannolikhet.

Jag erinrar då först om, att vi i början av alla de problem angående verkningarnas sannolikhet, som hittills sysselsatt oss, alltid hava måst ställa en mer eller mindre berättigad överenskommelse. Och om resultatet åtminstone till en viss grad oftast varit oberoende av denna överenskommelse, så berodde detta blott på vissa antaganden, vilka tilläto oss att a priori tillbakavisa t. ex. de diskontinuerliga funktionerna eller vissa alltför enfaldiga överenskommelser.

Vi återfinna någonting i samma stil, när vi sysselsätta oss med orsakernas sannolikhet. En verkan kan framkallas genom orsaken $A$ eller genom orsaken $B$ . Verkan har nyss iakttagits, och man önskar veta sannolikheten för, att den bör hänföras till orsaken $A$ . Detta är orsakens sannolikhet a posteriori. Men jag skulle ej kunna beräkna den, om icke en mer eller mindre berättigad överenskommelse på förhand hade låtit mig känna, vilken sannolikheten a priori var, för att orsaken $A$ trätt i verksamhet. Jag menar sannolikheten för denna händelse för någon, som ännu ej iakttagit verkan.

För att förklara mig tydligare, återvänder jag till exemplet om ecarté-partiet, som jag för en stund sedan talade om. Min medspelare ger första gången och slår upp en kung. Vilken är sannolikheten för, att han är en falskspelare? De formler, man vanligtvis lär sig, angiva ${\frac {8}{9}}$ . Ett högst överraskande resultat. Om man närmare granskar dessa formler skall man finna, att beräkningen gjorts på så sätt, att jag, innan vi slogo oss ned vid spelbordet, var övertygad om att det fanns en möjlighet på två för, att min motspelare ej var ärlig. En orimlig hypotes, eftersom jag i sådant fall säkerligen ej skulle hava spelat med honom, och detta förklarar orimligheten i slutledningen.

Överenskommelsen angående sannolikheten a priori var oberättigad och därför hade beräkningen av sannolikheten a posteriori fört mig till ett oantagligt resultat. Här framträder vikten av denna föregående överenskommelse. Jag beder få tillägga, att om man ej gjort någon sådan, skulle problemet angående sannolikheten a posteriori icke hava någon mening. En överenskommelse måste alltid göras, antingen det nu sker uttryckligen eller stillatigande.

Nu skola vi övergå till ett mera vetenskapligt exempel. Jag vill bestämma en experimentell lag; om jag hade kännedom om denna lag, skulle jag kunna framställa den genom en kurva. Jag gör ett visst antal fristående iakttagelser, och var och en av dessa framställes genom en punkt. När jag erhållit dessa olika punkter, låter jag en kroklinje löpa mellan dem, varvid jag bemödar mig att så litet som möjligt avlägsna mig ifrån dem och ändock åt min kurva bibehålla en regelbunden form, d. v. s. utan spetsiga hörn, utan alltför mycket tillkrånglade vändningar och utan tvära förändringar i krökningsradien. Denna kurva skall för mig uppvisa den sannolika lagen, och jag antager, att den icke endast låter mig känna värdena på de funktioner, som ligga emellan dem jag redan iakttagit, utan att den även låter mig känna själva de iakttagna värdena mycket noggrannare än den direkta iakttagelsen (och det är för den skull jag lät min kroklinje löpa i närheten av punkterna och icke igenom punkterna själva).

Detta är ett problem angående orsakernas sannolikhet. Verkningarna äro de mätningar jag upptecknat; de bero på sammanställandet av tvenne orsaker, nämligen den verkliga lagen för företeelsen samt observationsfelen. Här är fråga om, att när man känner verkningarna, söka sannolikheten för, att företeelsen lyder en viss lag och att iakttagelserna varit behäftade med vissa fel. Den sannolikaste lagen motsvarar då den uppdragna kurvan, och det sannolikaste felet vid varje observation representeras av den denna observation motsvarande punktens avstånd från kurvan.

Men problemet skulle icke få någon mening, om jag ej före varje observation gjort mig en föreställning a priori om den eller den lagens sannolikhet och de möjligheter för misstag, som jag är utsatt för.

Om mina instrumenter äro goda (och det bör jag veta, innan jag börjar mina observationer), skulle jag ej tillåta min kurva att alltför mycket avlägsna sig från de punkter, som representera de obearbetade måtten. Om instrumenten vore dåliga, kunde jag hålla mig på något längre avstånd ifrån dem för att erhålla en mindre slingrande kurva. Jag bringade regelbundenheten ett större offer.

Varför försöker jag då att uppdraga en kurva utan slingringar? Jo, därför att jag a priori anser en lag, som representeras genom en kontinuerlig funktion (eller genom en funktion, vars derivator av högre ordning äro små) såsom sannolikare än en lag, som icke satisfierar dessa villkor. Utan denna förmodan skulle det ifrågavarande problemet icke hava någon mening, och interpolationen bleve omöjlig. Man skulle ej kunna härleda en lag ur ett avslutat antal observationer, och vetenskapen skulle icke kunna existera.

För femtio år sedan betraktade fysikerna en enkel lag såsom sannolikare än en mera invecklad, om för övrigt allting vore lika. De åberopade till och med denna princip till förmån för Mariottes lag emot Regnaults experimenter. I våra dagar vilja de ej kännas vid denna uppfattning, men huru många gånger hava de likväl icke blivit tvungna att handla, som om de hade bibehållit den. Huru härmed än må förhålla sig, kvarstår emellertid av denna böjelse förlitandet på kontinuiteten, och vi hava nyss sett, att om denna uppfattning i sin tur försvunne, skulle den experimentella vetenskapen omöjliggöras.

6. Misstagsteorien. Vi föranledas sålunda att uppehålla oss vid misstagsteorien, som direkt ansluter sig till problemet angående orsakernas sannolikhet. Även här konstatera vi verkningar, nämligen ett visst antal stridiga iakttagelser, och vi försöka att gissa oss till orsakerna, som äro dels det verkliga värdet på den kvantitet, som skall uppmätas, och dels det vid varje fristående iakttagelse begångna felet. Man måste räkna ut, vilken a posteriori varje misstags sannolika storlek är och följaktligen det sannolika värdet på den kvantitet, som skall uppmätas.

Men, som jag nyss förklarat, skulle man ej kunna företaga denna beräkning, om man icke a priori, d. v. s. före varje observation, antoge en lag angående sannolikheten för misstagen. Finnes det en lag för misstagen?

Den av alla räknare antagna misstagslagen är Gauss' lag, som framställes genom en viss transcendent kurva, känd under namn av "klockkurvan".

Men först torde det vara på sin plats att erinra om den klassiska skillnaden mellan de systematiska och de tillfälliga misstagen. Om vi mäta en längd med ett för långt metermått, erhålla vi alltid ett för litet tal, och det tjänar ingenting till att göra om mätningen flere gånger. Detta är ett systematiskt fel. Om vi mäta samma längd med ett riktigt metermått kunna vi i alla fall mäta fel, men då mäta vi ibland för långt och ibland för kort och när vi sedan taga medeltalet av ett stort antal uppmätningar, så visar felet benägenhet för att utjämnas. Detta är tillfälliga misstag.

Tydligt är, att de systematiska misstagen icke kunna satisfiera Gauss' lag, men göra de tillfälliga misstagen det? Man har försökt ett stort antal bevis, men nästan allesammans hava varit klumpiga felslut. Gauss' lag kan icke desto mindre bevisas, om man går ut ifrån följande hypoteser: det begångna misstaget är resultanten av ett stort antal enskilda och av varandra oberoende fel; varje enskilt misstag är mycket litet och lyder dessutom en sannolikhetslag likgiltigt vilken, endast med det förbehållet att sannolikheten för ett positivt fel är densamma som för ett lika stort fel med motsatta tecken. Klart är, att dessa villkor ofta uppfyllas, ehuru ej alltid, och vi kunna endast bibehålla namnet tillfälliga för de misstag som satisfiera dem.

Man ser, att metoden för de minsta kvadraterna icke under alla omständigheter är berättigad och i allmänhet misstro fysikerna den mera än astronomerna. Detta kommer sig troligen därav, att de senare, utom de systematiska fel som likaväl förekomma hos dem som hos fysikerna, även hava att kämpa emot en utomordentligt viktig anledning till misstag och vilken helt och hållet är av tillfällig natur; jag menar de atmosfäriska undulationerna eller vågrörelserna. Därför är det också mycket lustigt att höra en fysiker och en astronom diskutera en observationsmetod. Fysikern, som är övertygad om att en god mätning är bättre än många dåliga, tänker framför allt på att genom en till ytterlighet gående försiktighet avlägsna de sista systematiska felen och astronomen svarar honom: "Men ni kan på detta sätt blott iakttaga ett litet antal stjärnor, och de tillfälliga misstagen skulle icke försvinna."

Vad böra vi draga härur? Skola vi fortsätta med tillämpandet av metoden angående de minsta kvadraterna? Vi måste komma ihåg, att vi hava uteslutit alla systematiska misstag vi kunna förmoda. Vi veta mycket väl, att det fortfarande finnes sådana, men vi kunna icke upptäcka dem. Emellertid måste vi taga vårt parti och fastställa ett bestämt värde, vilket skall betraktas såsom det sannolika värdet, och det bästa vi då kunna göra, är tydligen att anlita Gauss' metod. Vi hava endast att tillämpa en praktisk regel, som hänför sig till den subjektiva sannolikheten. Häremot är intet att invända.

Men man vill gå ännu längre och fastställa, att icke endast det sannolika värdet är så och så stort, utan även att det begångna sannolika misstaget angående resultatet är så och så stort. Detta är fullständigt oberättigat och skulle endast vara riktigt, om vi kunde vara säkra på, att alla systematiska fel vore avlägsnade, men härom veta vi absolut ingenting. Tvenne observationsserier föreligga. Vid tillämpandet av de minsta kvadraterna finna vi, att det sannolika misstaget vid den första serien är två gånger mindre än vid den senare. Den andra serien kan emellertid vara bättre än den första, emedan denna kanske är behäftad med ett stort systematiskt misstag. Allt vad vi kunna påstå är, att den första serien sannolikt är bättre än den andra, emedan den förstas tillfälliga misstag är obetydligare och att vi ej hava något skäl att påstå, att det systematiska felet är större vid den ena serien än vid den andra, ty angående denna sak äro vi fullständigt ovetande.

7. Slutbetraktelser. I ovanstående rader har jag visserligen uppställt åtskilliga problem, men jag har icke löst något enda av dem. Jag ångrar emellertid ej, vad jag skrivit, ty det kanske skall inbjuda läsaren till ett övertänkande av dessa invecklade frågor.

Huru härmed än må förhålla sig, så finnes det vissa punkter, som förefalla fastslagna. För att företaga en sannolikhetsberäkning av vilket slag som helst, och särskilt för att en sådan beräkning skall få någon mening, måste såsom utgångspunkt uppställas en hypotes eller en överenskommelse, som alltid innebär en viss grad av godtycklighet. Vid valet av denna överenskommelse kunna vi endast ledas av principen om tillräcklig grund. Olyckligtvis är denna princip ganska obestämd och tänjbar och vid den hastiga undersökning vi nyss hava gjort, sågo vi den antaga många olika former. Den form, under vilken vi oftast påträffa den, är förlitandet på kontinuiteten, ett förlitande som svårligen skulle kunna rättfärdigas genom ett apodiktiskt resonemang, men utan vilket all vetenskap bleve omöjlig. De problem slutligen, där probabilitetskalkylen med fördel kan tillämpas, äro sådana, där resultatet är oberoende av den i början uppställda hypotesen, endast denna hypotes satisfierar kontinuitetsvillkoret.