Vetenskapen och hypoteserna. Tolfte kapitlet

←  Probabilitetskalkylen

Vetenskapen och hypoteserna av Henri Poincaré

Elektrodynamiken  →

Optiken och elektriciteten.

Fresnels teori. Det bästa exempel^[1] man kan välja är ljusteorien och dennas förhållande till elektricitetsteorien. Tack vare Fresnel är optiken det bäst bearbetade området inom fysiken, och undulationsteorien bildar ett för anden verkligen tillfredsställande helt. Men man bör ej begära mera utav den, än vad den kan giva.

De matematiska teorierna hava icke till ändamål att för oss uppenbara tingens verkliga natur, vilket vore en orimlig fordran. Deras enda mål är att sammanbinda de fysikaliska lagar experimentet låter oss känna, men vilka vi utan matematikens hjälp ej ens skulle kunna uttala.

Det bekymrar oss föga, om etern verkligen existerar, detta är metafysikernas sak. Huvudsaken för oss är, att allting försiggår, såsom om den verkligen existerade och att denna hypotes är bekväm för förklarandet av företeelserna. Hava vi, när allt kommer omkring, något annat skäl för att tro på de materiella föremålens existens? Detta är också en bekväm hypotes, skillnaden består endast uti, att den aldrig skall upphöra att vara det, under det att den dag sannolikt en gång skall randas, då etern övergives såsom varande onyttig.

Men även den dagen kvarstå de optiska lagarna och de ekvationer, som analytiskt översätta dem, såsom riktiga, eller åtminstone såsom första klassens approximationer. Det har således alltid sin nytta med sig att studera ett lärosystem, som sinsemellan sammanbinder alla dessa ekvationer.

Vågrörelseteorien vilar på en molekylär hypotes. För dem, som härigenom tro sig upptäcka lagens yttersta orsak, är detta en fördel och för de övriga blir det en anledning till misstroende, men detta misstroende förefaller mig lika litet berättigat, som de förstnämndas illusioner.

Dessa hypoteser spela endast en underordnad roll, och man kunde mycket väl uppoffra dem. Vanligtvis gör man det ej, emedan framställningen då skulle förlora i tydlighet och detta är också enda skälet, varför man bibehåller dem.

Och verkligen, om man närmare undersöker saken, så finner man, att man av de molekulära hypoteserna endast lånar tvenne saker, nämligen principen om energiens oförstörbarhet och ekvationernas lineära form, som är den allmänna lagen för de små rörelserna liksom för alla små förändringar.

Detta förklarar, varför de flesta av Fresnels slutledningar utan förändring kvarstå, sedan man antagit den elektromagnetiska läran om ljuset.

Maxwells teori. Som bekant, har Maxwell med ett snävt band sammanknutit tvenne fysikens områden, vilka hitintills varit fullständigt främmande för varandra, nämligen optiken och elektriciteten. Genom att på detta sätt smälta samman med ett mer omfattande helt, en högre harmoni, har Fresnels optik icke upphört att vara levande, ty dess olika delar kvarstå och dessas ömsesidiga förhållande förbliva alltid de samma. Endast språket, varav vi begagna oss för att uttrycka dem, har förändrats, och Maxwell har å andra sidan uppenbarat oss andra hittills oanade förhållanden mellan optikens olika delar och elektricitetens område.

Första gången en fransman öppnar en bok av Maxwell, blandar sig en känsla av obehag och ofta till och med misstroende med hans beundran, och det är först efter längre bekantskap, förenad med övervinnandet av stora svårigheter, som denna känsla försvinner. Många upphöjda andar bibehålla den till och med för alltid.

Varför hava den engelske vetenskapsmannens idéer så svårt att omplanteras i vår jordmån? Sannolikt beror detta på, att den uppfostran de flesta bildade fransmän erhållit gör dem benägna att framför alla andra egenskaper uppskatta tydlighet och logik.

De gamla teorierna inom den matematiska fysiken gåvo oss fullständig tillfredsställelse i detta avseende. Alla våra lärare från Laplace till Cauchy hava gått till väga på samma sätt. I det de utgingo från tydligt uttalade hypoteser, drogo de med matematisk stränghet ur dem alla konsekvenser och sedan jämförde de dem med erfarenheten. De tycktes vilja giva varje gren av fysiken samma precision, som förekommer inom den celesta mekaniken.

För en ande, som är van att beundra sådana modeller, blir en teori svårligen tillfredsställande. Icke blott att denna ande ej kan fördraga den allra minsta motsägelse, utan den fordrar även, att alla de olika delarna sinsemellan skola vara logiskt sammanbundna och att de tydligt uttalade hypotesernas antal är nedbringat till ett minimum.

Men ej nog härmed, ty det finnes även andra fordringar, vilka synas mig mindre rimliga. Bakom den för våra sinnen uppnåeliga materien och den erfarenheten låter oss känna vill anden se en annan materia, den för dess ögon enda verkliga, som ej får besitta några andra än rent matematiska egenskaper och vars atomer blott skola bestå av matematiska, endast dynamikens lagar underkastade punkter. Och likväl söker den genom en omedveten motsägelse föreställa sig dessa osynliga och färglösa atomer och vill följaktligen så mycket som möjligt närma dem till den vanliga materien.

Först då känner den sig fullt tillfredsställd och inbillar sig hava genomskådat universums hemlighet och om denna tillfredsställelse också är bedräglig, är det därför ej mindre smärtsamt att nödgas avstå ifrån den.

Vid öppnandet av Maxwells verk väntar sig därför en fransman att finna en teoretisk enhet, lika logisk och bestämd som den på eterhypotesen grundade optiken. Härigenom bereder han sig således en missräkning, vilken jag vill bespara läsaren genom att på förhand låta honom veta, vad han kan söka hos Maxwell och vad han ej skall finna hos honom.

Maxwell lämnar ingen mekanisk förklaring över elektriciteten och magnetismen; han inskränker sig till att visa, att en sådan förklaring är möjlig.

Han visar likaledes, att de optiska fenomenen endast äro ett särskilt slag elektromagnetiska fenomen. Ur varje elektricitetslära skulle man sålunda omedelbart kunna härleda en ljusteori.

Det omvända förhållandet går olyckligtvis icke för sig, ty ur en fullständig förklaring över ljuset är det icke alltid lätt att draga en fullständig förklaring över de elektriska fenomenen. Och detta blir isynnerhet svårt, om man vill utgå från Fresnels teori; det vore antagligen icke omöjligt, men icke desto mindre måste man fråga sig, om det icke bleve nödvändigt att avstå från många beundransvärda resultat, dem man trodde definitivt förvärvade. Detta förefaller att vara ett steg baklänges, och mången ande vill icke bekväma sig därtill.

Om läsaren även samtycker till att begränsa sina förhoppningar, skall han i alla händelser stöta på andra svårigheter. Den engelske vetenskapsmannen söker icke uppresa en enhetlig, avslutad och väl ordnad byggnad. Det förefaller snarare, som om han ville uppbygga en hel mängd tillfälliga och av varandra oberoende konstruktioner, mellan vilka förbindelsen är svår och ibland till och med omöjlig.

Låtom oss såsom exempel taga kapitlet, vari han förklarar de elektrostatiska attraktionerna genom de tryck och spänningar som förekomma i det dielektriska mediet. Detta kapitel skulle kunna uteslutas, utan att återstoden av boken bleve mindre tydlig och mindre fullständig, men å andra sidan innehåller det en teori, som i och för sig är tillräcklig och man skulle kunna förstå den, utan att hava läst en enda rad av allt det föregående eller efterföljande. Men detta kapitel är icke endast oberoende av verkets övriga innehåll, utan det är även svårt att sammanjämka det med bokens grundläggande tankar. Maxwell försöker icke ens att göra någon sådan sammanjämkning, utan inskränker sig till att säga: "I have not been able to make the next step, namely, to account by mechanical considerations for these stresses in the dielectric."

Detta exempel torde vara tillräckligt för att göra min tankegång begriplig, men jag skulle kunna framdraga många andra. Vem skulle sålunda vid läsandet av de åt den magnetiska cirkulära polarisationen ägnade sidorna komma att tänka på, att det finnes en identitet mellan de optiska och de magnetiska fenomenen?

Man bör icke intala sig, att man kan undvika all motsägelse; man måste finna sig däri. Tvenne motsägande läror kunna i grund och botten båda två vara nyttiga forskningsinstrumenter, förutsatt att man icke blandar ihop dem med varandra och i dem ej söker tingens yttersta grund, och kanske läsningen av Maxwells verk skulle vara mindre eggande, om den ej hade öppnat så många nya, skiljaktiga vägar för oss.

Men den grundläggande tanken blir på detta sätt en smula förklädd. Och den är så väl undandold, att den i de flesta populära arbeten just är den punkt, som fullständigt lämnas å sido.

För att ännu bättre låta vikten härav framträda, anser jag mig böra förklara, vari denna grundläggande tanke består. Men härför blir en kortare avvikelse nödvändig.

De fysikaliska fenomenens mekaniska förklaring. Vid alla fysikaliska företeelser förekommer ett visst antal parametrar, vilka ligga inom experimentets direkta räckvidd och som genom detta kunna mätas. Jag benämner dem parametrarna $q$.

Iakttagelsen låter oss slutligen känna lagarna för dessa parametrars variationer, och dessa lagar kunna i allmänhet framställas under formen av differentialekvationer, som sammanbinda parametrarna $q$ och tiden med varandra.

Huru skola vi bära oss åt för att giva en sådan företeelse en mekanisk tolkning?

Man måste försöka förklara den antingen genom rörelser hos den vanliga materien eller hos ett eller flere hypotetiska fluider.

Dessa fluider böra uppfattas såsom bildade av ett mycket stort antal fristående molekyler $m$.

När kunna vi då påstå, att vi uppnått en fullständig mekanisk förklaring över fenomenet? Detta skulle å ena sidan vara fallet, när vi känna de differentialekvationer, som koordinaterna för dessa hypotetiska molekyler $m$ satisfiera, vilka ekvationer för övrigt måste vara överensstämmande med de dynamiska principerna, och å andra sidan när vi känna de förhållanden, som definiera koordinaterna för molekylerna $m$ som funktioner av de inom räckvidd för experimentet liggande parametrarna $q$.

Dessa ekvationer böra, som jag redan sagt, vara överensstämmande med den dynamiska principen och i all synnerhet med principerna om energiens oförstörbarhet och den minsta verkan.

Den första av dessa principer lär oss, att den totala energien är konstant och att denna energi sönderfaller i tvenne delar:

1:o kinetisk energi eller levande kraft, som beror på massorna av de hypotetiska molekylerna $m$ samt af deras hastigheter, och denna energi vill jag kalla $T$;

2:o potentiell energi, som uteslutande beror på dessa molekylers koordinater och vilken jag vill kalla $U$. Summan av de två energierna $T$ och $U$ förblir konstant.

Vad lär oss nu principen om den minsta verkan? Den lär oss, att systemet, för att övergå från det begynnelseläge det i ögonblicket $t_{0}$ intager, till slutläget, som det intager i ögonblicket $t_{1}$, måste taga en sådan väg, att i det tidsintervall, som förflyter mellan de tvenne ögonblicken $t_{0}$ och $t_{1}$, medelvärdet av "verkan" (d. v. s. differensen mellan de tvenne energierna $T$ och $U$) blir så liten som möjligt. Den första av dessa tvenne principer är för övrigt en följd av den senare.

Om man kände de tvenne funktionerna $T$ och $U$, vore denna princip tillräcklig för att bestämma rörelsens ekvationer.

Bland alla de vägar, som tillåta ett övergående från det ena läget till det andra, finnes tydligen en, där verkans medelvärde är mindre än vid alla de andra. Det finnes dessutom endast en sådan väg och resultatet blir, att principen om den minsta verkan räcker till för att bestämma den valda vägen och följaktligen rörelsens ekvationer.

På detta sätt erhålles, vad man benämner Lagranges ekvationer.

I dessa ekvationer utgöras de oberoende variablerna av koordinaterna för de hypotetiska molekylerna $m$, men jag förutsätter nu, att man såsom variabler tager de för erfarenheten direkt åtkomliga parametrarna $q$.

De tvenne delarna energi böra sålunda uttryckas som funktioner av parametrarna $q$ och av dessas derivator, och det är tydligen under denna form de framträda för experimentatorn. Denne försöker naturligtvis att definiera den potentiella och den kinetiska energien med tillhjälp av de storheter han direkt kan iakttaga.^[2]

Detta förutsatt, övergår systemet alltid från det ena läget till det andra på en sådan väg, att medelverkan blir den minsta möjliga.

Det betyder föga att $T$ och $U$ nu uttryckas med tillhjälp av parametrarna $q$ och dessas derivator; lika litet betyder det, att det även är genom dessa parametrar vi definiera begynnelse- och slutläget. Principen för den minsta verkan förblir alltid riktig.

Eller uttryckt på annat sätt kunna vi säga, att av alla vägar som föra från ett läge till ett annat, finnes det en, för vilken medelverkan är minimum och det finnes icke mera än en sådan väg. Principen för den minsta verkan är sålunda tillräcklig för att bestämma de differentialekvationer, som definiera variationerna hos parametrarna $q$.

De på detta sätt erhållna ekvationerna äro en annan form av Lagranges ekvationer.

För att bilda dessa ekvationer behöva vi ej känna de förhållanden, som förbinda parametrarna $q$ med de hypotetiska molekylernas koordinater och ej heller dessa molekylers massa eller uttrycket för $U$ som funktion av dessa molekylers koordinater. Allt vad vi behöva känna, är uttrycket för $U$ som funktion av $q$ och uttrycket för $T$ som funktion av $q$ och dessas derivator, det vill säga uttrycken för den kinetiska och den potentiella energien som funktion av de experimentella uppgifterna.

Alltså få vi tvenne möjligheter. Endera bliva Lagranges ekvationer med den form vi nyss angivit och vid ett lämpligt val av funktionerna $T$ och $U$ identiska med de ur experimenten härledda differentialekvationerna, eller också existera inga funktioner $T$ och $U$, för vilka denna överensstämmelse äger rum. I detta sista fall är tydligen ingen mekanisk ekvation möjlig.

Det nödvändiga villkoret för, att en mekanisk förklaring skall vara möjlig, är således att man kan välja funktionerna $T$ och $U$ på sådant sätt, att de satisfiera principen om den minsta verkan, som med sig förer principen om energiens oförstörbarhet.

Detta villkor är dessutom tillräckligt. Låtom oss förutsätta, att man verkligen funnit en funktion $U$ av parametrarna $q$, vilken representerar den ena av energiens delar, att en annan del av energien, som vi framställa genom $T$, är en funktion av $q$ och dessas derivator och att den är ett homogent polynom av andra graden i förhållande till denna derivator, samt slutligen, att Lagranges med tillhjälp av de två funktionerna $T$ och $U$ bildade ekvationerna äro i överensstämmelse med erfarenhetens uppgifter.

Vad behöves, för att härur draga en mekanisk förklaring? Jo, att $U$ kan betraktas såsom ett systems potentiella energi och $T$ såsom detta samma systems levande kraft.

Vad $U$ beträffar, föreligga inga svårigheter. Men kan $T$ betraktas såsom ett materiellt systems levande kraft?

Det är lätt att visa, att detta alltid är möjligt och till och med på oändligt många sätt. Angående enskildheterna inskränker jag mig till att hänvisa till företalet till mitt verk Electricité et optique.

Om man således ej kan tillfredsställa principen om den minsta verkan, så finnes ingen möjlig mekanisk förklaring. Kan man däremot tillfredsställa denna princip, finnes det icke blott en, utan en oändlighet mekaniska förklaringar, varav framgår, att så snart en finnes, så finnes det även en oändlighet andra.

Bland de kvantiteter experimentet låter oss direkt nå fram till, betrakta vi somliga såsom funktioner av våra hypotetiska molekylers koordinater, och dessa äro just våra parametrar $q$. De andra betrakta vi såsom icke endast beroende på koordinaterna, utan även på hastigheterna, eller, vad som går på ett ut, såsom $q$-parametrarnas derivator, eller såsom kombinationer av dessa parametrar och deras derivator.

Och nu uppdyker en annan fråga. Vilka bland alla dessa experimentellt uppmätta kvantiteter böra vi välja såsom representerande parametrarna $q$? Och vilka föredraga vi att betrakta såsom dessa parametrars derivator? Detta val blir i allra högsta grad godtyckligt, men för att en mekanisk förklaring skall bliva möjlig är det tillräckligt, att man kan göra det i överensstämmelse med principen om den minsta verkan.

Nu gör Maxwell sig själv den frågan, om han kan träffa detta val samt välja de tvenne energierna $T$ och $U$, så att de elektriska fenomenen satisfiera denna princip. Erfarenheten visar oss, att energien hos ett elektromagnetiskt fält sönderfaller i tvenne delar, nämligen elektrostatisk och elektrodynamisk energi. Maxwell har funnit ut, att om man betraktar den förstnämnda såsom representerande den potentiella energien $U$ och den senare såsom representerande den kinetiska energien $T$ samt om å andra sidan ledningarnas elektrostatiska laddning betraktas såsom parametrar $q$ och strömmarnas intensitet såsom andra $q$-parametrars derivator, under dessa villkor, säger jag, har Maxwell funnit, att de elektriska fenomenen satisfiera principen om den minsta verkan. Sedan dess var han övertygad om möjligheten för en mekanisk förklaring.

Hade han satt denna tanke i början på sin bok, i stället för att undansticka den i ett avlägset hörn i verkets andra del, skulle den icke hava undgått de flesta av hans läsare, såsom nu är fallet.

Om således ett fenomen medgiver en fullständig mekanisk förklaring, så medgiver det samtidigt en oändlighet andra, vilka lika bra redogöra för alla de genom erfarenheten uppenbarade enskildheterna.

Och detta bekräftas genom var och en av fysikens enskilda delars historia. Inom optiken t. ex. anser Fresnel vibrationen vara lodrät emot polarisationsplanet; Neumann betraktar den såsom parallell med detta plan. Man har länge sökt ett "experimentum crusis", som skulle tillåta ett avgörande mellan dessa tvenne teorier, men något sådant har ännu icke kunnat påträffas.

På samma sätt, och utan att utträda ur det elektriska området, kunna vi konstatera, att läran om tvenne fluider och om ett enda fluidum båda två och på lika tillfredsställande sätt lämna redogörelse för alla de inom elektrostatiken iakttagna lagarna.

Tack vare egenskaperna hos de Lagranges ekvationer, varom jag nyss talat, låta alla dessa fakta sig med lätthet förklaras.

Vi förstå nu lätt, vilken Maxwells grundläggande tanke är.

För att bevisa möjligheten av en mekanisk förklaring över elektriciteten, behöva vi icke upptaga tiden med att försöka finna förklaringen själv, det är tillräckligt att känna uttrycket för de två funktionerna $T$ och $U$, vilka äro energiens tvenne delar, att av dessa två funktioner bilda Lagranges ekvationer samt slutligen att jämföra dessa två ekvationer med de experimentella lagarna.

Huru skall man bland alla dessa möjliga förklaringar kunna göra ett val, vid vilket någon hjälp av experimentet ej kan påräknas? Den dag skall kanske en gång komma, när fysikerna ej längre bry sig om dessa för de positiva metoderna oåtkomliga frågor och överlämna dem åt metafysikerna. Ännu hava vi ej kommit därhän; människan går icke så lätt in på, att hon i evighet skall förbliva okunnig om tingens yttersta grund.

Vårt val kan således endast ledas av sådana bevekelsegrunder, varvid det personliga omdömet till stor del spelar in. Det finnes emellertid lösningar, vilka på grund av sin orimlighet tillbakavisas av var och en och åter andra, som på grund av sin enkelhet föredragas av alla.

Vad elektriciteten och magnetismen beträffar, avhåller sig Maxwell från att göra något som helst val. Men detta beror icke på, att han systematiskt föraktar allt, som de positiva metoderna icke kunna nå fram till, vilket bäst bevisas genom den tid han offrat på den kinetiska gasteorien. Jag beder få tillägga, att om han i sitt stora arbete icke utvecklat någon fullständig förklaring, så har han dock tidigare försökt sig på en sådan i en artikel i Philosophical Magazine. De många besynnerliga och invecklade hypoteser han därvid blev tvungen att göra, föranledde honom snart att avstå från uppgiften.

Samma anda genomgår hela hans arbete. Allt det väsentliga, det vill säga, det som måste vara gemensamt för alla teorierna, har belysts, men allt vad som blott passar ihop med en enda teori, har nästan alltid förbigåtts med tystnad. Läsaren finner sig sålunda stående inför en bild nästan utan all materia och som han vid första anblicken frestas taga för en flyende och ofattbar skugga. Men de ansträngningar han härigenom måste underkasta sig tvinga honom till eftertanke, och till slut kommer han till insikt om, vad som ofta var en smula konstgjort i hela den lärobyggnad han förut beundrade.

---

Fotnoter:

1. Detta kapitel är ett delvist återgivande av företalen till två av mina verk: Théorie matématique de la lumière (Paris, Naud, 1889) och Electricité et optique (Paris, Naud, 1901).
2. Tilläggas bör, att $U$ endast beror på parametrarna $q$, att $T$ beror på parametrarna $q$ och dessas derivator i förhållande till tiden och att $T$ är ett homogent polynom av andra graden i förhållande till dessas derivator.